数理モデルの問題

手順 1：特性方程式を作る。
$$\det (L-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 4& 16\\ \frac{1}{2}& -\lambda & 0\\ 0& \frac{1}{2}& -\lambda \end{array}\right|$$
を第 1 行で余因子展開すると
$$-\lambda \left({\lambda }^2-0\right)-4\left(-\frac{\lambda }{2}-0\right)+16\left(\frac{1}{4}-0\right)=-{\lambda }^3+2\lambda +4.$$
よって特性方程式は ${\lambda }^3-2\lambda -4=0$ である。

手順 2：優越固有値 ${\lambda }_1$ を求める。
$\lambda =2$ を代入すると $8-4-4=0$ なので、${\lambda }^3-2\lambda -4=(\lambda -2)({\lambda }^2+2\lambda +2)$ と因数分解できる。${\lambda }^2+2\lambda +2=0$ の解は $\lambda =-1\pm i$ で、その絶対値は $\sqrt{2}<2$ である。したがって絶対値最大の固有値は ${\lambda }_1=2$ である（長期的には毎年 2 倍に増える）。

手順 3：${\lambda }_1=2$ の固有ベクトル（安定年齢分布）を求める。
$L\mathbf{v}=2\mathbf{v}$, $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$ の第 2 成分・第 3 成分を比べると
$$\frac{1}{2}{v}_1=2v_2,\frac{1}{2}{v}_2=2v_3$$
なので、$v_1=1$ とすると $v_2=\frac{1}{4}$, $v_3=\frac{1}{16}$。検算すると第 1 成分は $4\cdot \frac{1}{4}+16\cdot \frac{1}{16}=2=2v_1$ で成り立つ。よって $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{4}\\ \frac{1}{16}\end{array}\right)$。

手順 4：$\mathbf{x}(0)$ を固有ベクトルで分解する。
$L$ の固有値 $2,-1+i,-1-i$ は相異なるので、それぞれの固有ベクトル $\mathbf{v},{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{u}}_3$ は（複素数の範囲で）${\mathbb{C}}^3$ の基底になる。そこで
$$\mathbf{x}(0)=c\mathbf{v}+c_2{\mathbf{u}}_2+c_3{\mathbf{u}}_3$$
と書ける。$c\ne 0$ を確かめるために、${\lambda }_1=2$ の左固有ベクトル $\mathbf{w}$（${}^t\mathbf{w}L=2{}^t\mathbf{w}$ をみたすもの）を求める。${}^t\mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3)$ とすると
$${}^t\mathbf{w}L=\left(\frac{1}{2}{w}_2,4w_1+\frac{1}{2}{w}_3,16w_1\right)=(2w_1,2w_2,2w_3)$$
より $w_2=4w_1$, $w_3=8w_1$ で、$w_1=1$ とすると ${}^t\mathbf{w}=(1,4,8)$（第 2 成分も $4+4=8=2\cdot 4$ で成り立つ）。
固有値 $\mu \ne 2$ の固有ベクトル $\mathbf{u}$ に対しては ${}^t\mathbf{w}L\mathbf{u}=2{}^t\mathbf{w}\mathbf{u}=\mu {}^t\mathbf{w}\mathbf{u}$ なので ${}^t\mathbf{w}\mathbf{u}=0$ である。したがって分解式に左から ${}^t\mathbf{w}$ を掛けると
$${}^t\mathbf{w}\mathbf{x}(0)=c{}^t\mathbf{w}\mathbf{v}.$$
ここで ${}^t\mathbf{w}\mathbf{x}(0)=8\cdot 100=800$, ${}^t\mathbf{w}\mathbf{v}=1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ なので $c=\frac{800}{5/2}=320\ne 0$ である。

手順 5：極限を求める。
$\mathbf{x}(t)=L^t\mathbf{x}(0)=320\cdot 2^t\mathbf{v}+c_2(-1+i{)}^t{\mathbf{u}}_2+c_3(-1-i{)}^t{\mathbf{u}}_3$ の両辺を $2^t$ で割ると
$$\frac{\mathbf{x}(t)}{2^t}=320\mathbf{v}+c_2{\left(\frac{-1+i}{2}\right)}^t{\mathbf{u}}_2+c_3{\left(\frac{-1-i}{2}\right)}^t{\mathbf{u}}_3.$$
$\left|\frac{-1\pm i}{2}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ なので後ろの 2 項は $0$ に収束し、$\frac{\mathbf{x}(t)}{2^t}\to 320\mathbf{v}$ となる。分子・分母を $2^t$ で割って極限をとると
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_3(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}=\frac{320v_3}{320(v_1+v_2+v_3)}=\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}}=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{21}{16}}=\frac{1}{21}.$$
（参考：実際に計算すると $\mathbf{x}(1)=(1600,0,0)$, $\mathbf{x}(2)=(0,800,0)$, $\mathbf{x}(3)=(3200,0,400)$, … と推移する。）

$L$ の固有多項式は $\det (\lambda I-L)={\lambda }^3-4\cdot \frac{1}{2}\lambda -16\cdot \frac{1}{4}={\lambda }^3-2\lambda -4=(\lambda -2)({\lambda }^2+2\lambda +2)$ である。固有値は $2,-1\pm i$ で、$|-1\pm i|=\sqrt{2}<2$ なので、$\lambda =2$ が絶対値最大の単純固有値（優越固有値）になる。

$\lambda =2$ の右固有ベクトルは $L\mathbf{v}=2\mathbf{v}$ より $v_2=v_1/4$, $v_3=v_2/4$ となるので、$\mathbf{v}=(16,4,1{)}^T$ とおける。確認すると、第1行は $4\cdot 4+16\cdot 1=32=2\cdot 16$ で成り立つ。

左固有ベクトルは $\mathbf{w}L=2\mathbf{w}$ より $\mathbf{w}=(1,4,8)$ である。確認すると、$\mathbf{w}L=(4/2,4+8/2,16)=(2,8,16)=2\mathbf{w}$ で成り立つ。

初期値との内積は $\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}(0)=800\ne 0$ なので、$\mathbf{x}(t)$ の $\mathbf{v}$ 方向の成分は 0 でない。したがって $\mathbf{x}(t)\approx c{2}^t\mathbf{v}$（$c\ne 0$）となり、他の固有値に対応する成分は $2^t$ に比べて無視できる。

求める極限は $\frac{v_3}{v_1+v_2+v_3}=\frac{1}{16+4+1}=\frac{1}{21}$ である。