数理モデルの問題

1. 固有値を求める。 特性多項式は
$$\det (\lambda I-L)=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -3& -3\\ -\frac{1}{2}& \lambda & 0\\ 0& -\frac{3}{4}& \lambda \end{array}\right|={\lambda }^3-\frac{3}{2}\lambda -\frac{9}{8}$$
（第 1 行で展開: $\lambda \cdot {\lambda }^2-(-3)\left(-\frac{1}{2}\lambda \right)+(-3)\cdot \frac{3}{8}={\lambda }^3-\frac{3}{2}\lambda -\frac{9}{8}$）。$8$ 倍して
$$8{\lambda }^3-12\lambda -9=(2\lambda -3)(4{\lambda }^2+6\lambda +3)=0$$
よって固有値は ${\lambda }_1=\frac{3}{2}$ と、$4{\lambda }^2+6\lambda +3=0$ の解 $\lambda =\frac{-3\pm \sqrt{3}i}{4}$ である。後者の絶対値は $\sqrt{\frac{9+3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{2}<\frac{3}{2}$ なので、${\lambda }_1=\frac{3}{2}$ が絶対値最大の固有値（優越固有値）である。

2. 安定年齢分布（${\lambda }_1$ の固有ベクトル）。 $Lv=\frac{3}{2}v$, $v=(v_1,v_2,v_3{)}^{\top }$ の第 2, 3 成分の式より
$$\frac{1}{2}{v}_1=\frac{3}{2}{v}_2,\frac{3}{4}{v}_2=\frac{3}{2}{v}_3$$
$v_1=1$ とすると $v_2=\frac{1}{3}$, $v_3=\frac{1}{6}$。（第 1 成分の式: $3\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{1}{6}=\frac{3}{2}=\frac{3}{2}{v}_1$ で確かに成り立つ。）

3. 極限。 固有値は互いに異なるので $L$ は対角化可能で、初期値 $x(0)$ を固有ベクトルで展開すると
$$x(t)=c_1{\left(\frac{3}{2}\right)}^{t}v+(\text{絶対値 }(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^t\text{ の項})$$
となる。$c_1$ は ${\lambda }_1$ に対する左固有ベクトル $w$（$w^{\top }L=\frac{3}{2}{w}^{\top }$）を用いて $c_1=\frac{w^{\top }x(0)}{w^{\top }v}$ と表せる。$w^{\top }L=\frac{3}{2}{w}^{\top }$ を成分で書くと
$$\frac{1}{2}{w}_2=\frac{3}{2}{w}_1,3w_1+\frac{3}{4}{w}_3=\frac{3}{2}{w}_2,3w_1=\frac{3}{2}{w}_3$$
で、$w_1=1$ とすると $w_2=3$, $w_3=2$ である（第 2 式も $3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}=\frac{3}{2}\cdot 3$ で成り立つ）。$w$ の成分はすべて正なので $w^{\top }x(0)=100>0$, $w^{\top }v>0$ となり $c_1>0$。

したがって ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{t}x(t)\to c_{1}v$ であり、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}=\frac{v_1}{v_1+v_2+v_3}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$

$L$ の固有多項式は $\det (\lambda I-L)={\lambda }^3-0\cdot {\lambda }^2-(3\cdot \frac{1}{2})\lambda -(3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4})={\lambda }^3-\frac{3}{2}\lambda -\frac{9}{8}$。$\lambda =\frac{3}{2}$ を代入すると $\frac{27}{8}-\frac{9}{4}-\frac{9}{8}=\frac{27-18-9}{8}=0$ なので $\lambda =\frac{3}{2}$ は根。因数分解すると $(\lambda -\frac{3}{2})({\lambda }^2+\frac{3}{2}\lambda +\frac{3}{4})=0$。残りの 2 根は $\lambda =\frac{-3/2\pm \sqrt{9/4-3}}{2}$ で複素数、絶対値は $\sqrt{3/4}\approx 0.866<\frac{3}{2}$。よって $\frac{3}{2}$ が絶対値最大の（支配的な）固有値で単根。

$L$ の非零成分から、$1\to 2\to 1$（長さ 2）と $1\to 3\to 2\to 1$（長さ 3）の閉路があり、gcd は 1 なので $L$ は原始的（非負・既約・非周期的）。ゆえに $\frac{3}{2}$ 以外の固有値の絶対値はすべて $\frac{3}{2}$ より小さく、初期値の固有ベクトル成分が 0 でなければ $x(t)\sim c(3/2{)}^{t}v$（$v$ は固有値 $\frac{3}{2}$ の固有ベクトル）。

固有ベクトル: $Lv=\frac{3}{2}v$ の第 2 行より $\frac{1}{2}{v}_1=\frac{3}{2}{v}_2$ なので $v_2=\frac{1}{3}{v}_1$。第 3 行より $\frac{3}{4}{v}_2=\frac{3}{2}{v}_3$ なので $v_3=\frac{1}{2}{v}_2=\frac{1}{6}{v}_1$。第 1 行の確認: $3v_2+3v_3=v_1+\frac{1}{2}{v}_1=\frac{3}{2}{v}_1$ ✓。$v=(6,2,1)$ とできる。

初期値 $(100,0,0)$ の左固有ベクトル $w$ との内積が正であることを確認する。$L^{T}w=\frac{3}{2}w$ を解くと、第 1 列より $\frac{1}{2}{w}_2=\frac{3}{2}{w}_1$、第 2 列より $3w_1+\frac{3}{4}{w}_3=\frac{3}{2}{w}_2$、第 3 列より $3w_1=\frac{3}{2}{w}_3$。$w_1=1$ とすると $w_3=2$、$w_2=3$（第 2 列: $3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}=\frac{3}{2}\cdot 3$ ✓）。$w\cdot x(0)=100>0$ なので、支配的固有ベクトルの成分は 0 でない。

したがって極限は $\frac{v_1}{v_1+v_2+v_3}=\frac{6}{6+2+1}=\frac{2}{3}$。

検算: $x(1)=(0,50,0)$、$x(2)=(150,0,37.5)$、$x(3)=(112.5,75,0)$、$x(4)=(225,56.25,56.25)$ で、$x(4)$ の第 1 階級の割合は $225/337.5=2/3$ に近い。