数理モデルの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理モデル

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$ （ $t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $x (t) = x_{1} (t) x_{2} (t) x_{3} (t)$ とし、その推移が
$x (t + 1) = L x (t), L = 0 \frac{1}{2} 0 10 \frac{1}{2} 200$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_{1} (0) = 100$ , $x_{2} (0) = 40$ , $x_{3} (0) = 20$ のとき、極限
$t \to \infty lim (x_{1} (t) + x_{2} (t) + x_{3} (t))$
を求めよ。

この問題で使うもの

左固有ベクトルを使った個体数の極限（説明と入口の問題）
レスリー行列の優越固有値と安定年齢分布（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$L$ の固有値を求め、絶対値が 1 の固有値と 1 より小さい固有値に分けて、 $t \to \infty$ で残る成分を考えましょう。

ヒント 2

固有多項式は $λ^{3} - \frac{1}{2} λ - \frac{1}{2}$ で、 $λ = 1$ が根です。極限は $λ = 1$ の右固有ベクトル $v$ の定数倍で、その係数は左固有ベクトル $w$ を使って $\frac{w ^{T} x ( 0 )}{w ^{T} v}$ と求まります。

ヒント 3

右固有ベクトルは $v = (4, 2, 1)^{T}$ 、左固有ベクトルは $w = (1, 2, 2)$ です。他の固有値は $\frac{- 1 \pm i}{2}$ で絶対値が $\frac{1}{2}$ です。

答えと解説

答えを見る

154

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

固有値 $L$ の固有多項式は
$det (λ I - L) = λ - \frac{1}{2} 0 - 1 λ - \frac{1}{2} - 2 0 λ = λ^{3} - \frac{1}{2} λ - \frac{1}{2}$
である（第 1 行で展開すると $λ \cdot λ^{2} + 1 \cdot (- \frac{1}{2} λ) - 2 \cdot \frac{1}{4}$ ）。 $λ = 1$ を代入すると $0$ になるので
$λ^{3} - \frac{1}{2} λ - \frac{1}{2} = (λ - 1) (λ^{2} + λ + \frac{1}{2})$
と因数分解できる。 $λ^{2} + λ + \frac{1}{2} = 0$ の解は $λ = \frac{- 1 \pm i}{2}$ で、その絶対値は $\frac{1}{2} < 1$ である。よって固有値は $1, \frac{- 1 + i}{2}, \frac{- 1 - i}{2}$ の 3 つで互いに異なり、 $L$ は対角化可能である。

右固有ベクトル $L v = v$ を解くと、第 2 行から $v_{2} = \frac{1}{2} v_{1}$ 、第 3 行から $v_{3} = \frac{1}{2} v_{2}$ なので $v = 421$ ととれる（第 1 行 $v_{2} + 2 v_{3} = 2 + 2 = 4 = v_{1}$ も満たす）。

左固有ベクトル $w^{T} L = w^{T}$ を成分で書くと
$\frac{1}{2} w_{2} = w_{1}, w_{1} + \frac{1}{2} w_{3} = w_{2}, 2 w_{1} = w_{3}$
で、 $w_{1} = 1$ とすると $w_{2} = 2$ , $w_{3} = 2$ （第 2 式 $1 + 1 = 2$ も満たす）。よって $w = (1, 2, 2)$ 。

極限初期値を固有ベクトルで $x (0) = c_{1} v + c_{2} u_{2} + c_{3} u_{3}$ （ $u_{2}, u_{3}$ は複素固有値の固有ベクトル）と展開すると
$x (t) = c_{1} v + c_{2} (\frac{- 1 + i}{2})^{t} u_{2} + c_{3} (\frac{- 1 - i}{2})^{t} u_{3} \to c_{1} v (t \to \infty)$
となる。異なる固有値に属する左固有ベクトルと右固有ベクトルは直交する（ $w^{T} u_{k}$ について $w^{T} L u_{k} = w^{T} u_{k} = λ_{k} w^{T} u_{k}$ かつ $λ_{k} \neq = 1$ ）ので、
$c_{1} = \frac{w ^{T} x ( 0 )}{w ^{T} v} = \frac{1 \cdot 100 + 2 \cdot 40 + 2 \cdot 20}{1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1} = \frac{220}{10} = 22.$
したがって $x (t) \to 22421 = 884422$ であり、総個体数の極限は
$88 + 44 + 22 = 154.$

（確認: $x (1) = (40 + 40, 50, 20) = (80, 50, 20)$ で、 $w^{T} x (1) = 80 + 100 + 40 = 220$ と保存されている。）

別解

特性多項式: $det (λ I - L) = λ^{3} - \frac{1}{2} λ - \frac{1}{2} = (λ - 1) (λ^{2} + λ + \frac{1}{2})$ 。残りの根は $λ = \frac{- 1 \pm i}{2}$ で絶対値 $\frac{1}{2} < 1$ 。よって固有値 $1$ が絶対値最大の単根（他は絶対値 $< 1$ ）なので、 $L^{t} x (0)$ は固有値 $1$ の成分に収束する。\n\n右固有ベクトル（ $L v = v$ ）: $v_{2} = \frac{1}{2} v_{1}, v_{3} = \frac{1}{2} v_{2}$ より $v = (4, 2, 1)^{T}$ 。（第 1 行: $v_{2} + 2 v_{3} = 2 + 2 = 4 = v_{1}$ で確認）\n左固有ベクトル（ $w^{T} L = w^{T}$ ）: $w_{1} = \frac{1}{2} w_{2}, w_{2} = w_{1} + \frac{1}{2} w_{3}, w_{3} = 2 w_{1}$ より $w = (1, 2, 2)$ 。（ $w_{2} = 1 + 1 = 2$ で確認）\n\n極限は $x (\infty) = \frac{w \cdot x ( 0 )}{w \cdot v} v$ 。 $w \cdot x (0) = 100 + 80 + 40 = 220$ 、 $w \cdot v = 4 + 4 + 2 = 10$ なので係数は $22$ 、 $x (\infty) = (88, 44, 22)$ 。総和は $154$ 。\n\n検算: $w \cdot x (t)$ は保存される。 $x (1) = (40 + 40, 50, 20) = (80, 50, 20)$ で $80 + 100 + 40 = 220$ で一致。 $x (\infty)$ で $88 + 88 + 44 = 220$ 。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる