線形変換と行列

回転・拡大・射影などの平面の線形変換を行列で表し、合成を行列の積として計算できる

前提

行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

説明

回転・拡大縮小・原点を通る直線への正射影・原点を通る直線に関する対称移動などの平面の移動は、どれも 2 次正方行列を掛ける操作として表せます。この技能を使うと、移動の規則を 1 つの行列にまとめられます。さらに「回転してから射影する」のような移動の合成を、行列の積の計算に置き換えられます。図形の変換、コンピュータグラフィックス、力学の座標変換などで使います。

なぜそうしてよいのか

平面のベクトルをベクトルに移す写像 $f$ が、すべてのベクトル $u, v$ と実数 $k$ について $f (u + v) = f (u) + f (v)$ と $f (k v) = k f (v)$ を満たすとき、 $f$ を線形変換といいます。基本ベクトルを $e_{1} = (10), e_{2} = (01)$ とおくと、どのベクトルも $(x y) = x e_{1} + y e_{2}$ と書けます。したがって $f (x y) = x f (e_{1}) + y f (e_{2})$ が成り立ち、 $f$ は 2 つの像 $f (e_{1}), f (e_{2})$ だけで決まります。 $f (e_{1}) = (a c), f (e_{2}) = (b d)$ とすると $f (x y) = (a x + b y c x + d y) = (a c b d) (x y)$ となります。つまり、基本ベクトルの像を列として並べた行列を掛ければよいのです。

回転の行列は加法定理から導けます。点 $(r cos α, r sin α)$ を原点のまわりに角 $θ$ だけ反時計回りに回すと、 $(r cos (α + θ), r sin (α + θ))$ に移ります。これを加法定理で展開し、 $x = r cos α, y = r sin α$ とおくと $(x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ になります。よって回転の行列は $R (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ です。次に、原点を通り単位ベクトル $u = (cos φ, sin φ)$ の向きをもつ直線への正射影を考えます。これは内積を使って $v \mapsto (v \cdot u) u$ と書けます。 $e_{1} \mapsto cos φ u$ 、 $e_{2} \mapsto sin φ u$ を列に並べると $P = (cos^{2} φ cos φ sin φ cos φ sin φ sin^{2} φ)$ となり、2 倍角の公式で書き直すと $\frac{1}{2} (1 + cos 2 φ sin 2 φ sin 2 φ 1 - cos 2 φ)$ です。同じ直線に関する対称移動では、 $v$ とその像の中点が $P v$ になります。したがって像は $2 P v - v$ で、単位行列を $E$ とすると行列は $2 P - E = (cos 2 φ sin 2 φ sin 2 φ - cos 2 φ)$ です。

合成も行列で表せます。 $f$ を行列 $A$ 、 $g$ を行列 $B$ が表すとき、行列の積の結合法則により $(g \circ f) (v) = g (f (v)) = B (A v) = (B A) v$ です。つまり「先に $f$ 、後に $g$ 」の合成は積 $B A$ で表され、先に行う変換の行列が右に来ます。たとえば加法定理から $R (α) R (β) = R (α + β)$ が成り立ちます。これは「 $β$ 回してから $α$ 回す」と「 $α + β$ 回す」が同じ移動であることを表しています。

手順

変換が線形変換であることを確かめる。線形変換は必ず原点を原点に移す（ $f (0) = 0$ ）。そのため平行移動や、原点を通らない直線への射影は行列では表せない
基本ベクトルの像 $f (e_{1}), f (e_{2})$ を求め、それらを列として並べて行列 $A = (f (e_{1}) f (e_{2}))$ を作る
よく使う形は公式として使ってよい。角 $θ$ の回転は $(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ 、 $x$ 方向に $p$ 倍・ $y$ 方向に $q$ 倍する拡大は $(p 0 0 q)$ 。原点を通り角 $φ$ の方向をもつ直線への正射影は $(cos^{2} φ cos φ sin φ cos φ sin φ sin^{2} φ)$ 、その直線に関する対称移動は $(cos 2 φ sin 2 φ sin 2 φ - cos 2 φ)$
合成は、先に行う変換の行列を右に置いて掛ける。先に $f$ （行列 $A$ ）、後に $g$ （行列 $B$ ）なら、 $g \circ f$ の行列は $B A$
点 $(x, y)$ の像は、合成の行列に列ベクトル $(x y)$ を右から掛けて求める

例題

平面上で、原点のまわりに角 $\frac{π}{3}$ 回転する変換を $f$ 、直線 $y = x$ への正射影を $g$ とする。合成変換 $g \circ f$ （先に $f$ 、後に $g$ ）を行列で表し、それによる点 $(2, 0)$ の像の座標を求めよ。

例題の解答

手順 1：回転も、原点を通る直線への正射影も線形変換である。よってどちらも行列で表せる。

手順 2・3： $f$ は $θ = \frac{π}{3}$ の回転なので $A = (\frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \frac{1}{2})$ である。直線 $y = x$ の方向は $φ = \frac{π}{4}$ で、 $cos^{2} φ = sin^{2} φ = cos φ sin φ = \frac{1}{2}$ だから $B = (\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2})$ である。確認すると、 $B$ による $e_{1}$ の像は $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ である。これは点 $(1, 0)$ から直線 $y = x$ に下ろした垂線の足と一致している。

手順 4：先に $f$ 、後に $g$ なので、合成の行列は $B A$ である。
$B A = (\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}) (\frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \frac{1}{2}) = (\frac{1 + 3}{4} \frac{1 + 3}{4} \frac{1 - 3}{4} \frac{1 - 3}{4})$

手順 5：点 $(2, 0)$ の像は
$B A (20) = (\frac{1 + 3}{2} \frac{1 + 3}{2})$
である。

検算： $(2, 0)$ を $\frac{π}{3}$ 回すと $(1, 3)$ になる。 $y = x$ の向きの単位ベクトル $\frac{1}{2} (1, 1)$ との内積は $\frac{1 + 3}{2}$ である。これに同じ単位ベクトルを掛けると $(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2})$ となり、上の結果と一致する。

答え： $(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2})$

答え: $(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2})$

よくある誤り

「先に $f$ （行列 $A$ ）、後に $g$ （行列 $B$ ）」の合成を $A B$ としてしまう誤り。正しくは $(g \circ f) (v) = B (A v)$ なので $B A$ である。行列の積は一般に非可換で、上の例でも $A B = (\frac{1 - 3}{4} \frac{1 + 3}{4} \frac{1 - 3}{4} \frac{1 + 3}{4}) \neq = B A$ となる
基本ベクトルの像を行として並べてしまう誤り。正しくは列として並べる。 $f (e_{1}) = (a c), f (e_{2}) = (b d)$ なら、行列は $(a b c d)$ ではなく $(a c b d)$ である
回転行列の符号を逆にして $(cos θ - sin θ sin θ cos θ)$ と書いてしまう誤り。これは角 $- θ$ の回転を表す。反時計回りに $θ$ 回す行列は $(cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ で、 $e_{1}$ が $(cos θ, sin θ)$ に移ることで確かめられる
正射影の式 $(v \cdot d) d$ に、単位ベクトルでない方向ベクトル（例： $d = (1, 1)$ ）をそのまま使ってしまう誤り。正しくは $∣ d ∣^{2}$ で割って $\frac{v \cdot d}{∣ d ∣ ^{2}} d$ とする。 $y = x$ への正射影では、 $e_{1}$ の像は $(1, 1)$ ではなく $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

核と像と次元定理（大学数学線形代数）
指標表と可約表現の簡約（大学化学分光学と構造解析）