線形代数の問題

手順 1：$f$ を行列で表す。
直線 $y=x$ の向きの単位ベクトルは $\vec{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ である。点 $(x,y)$ の正射影は
$$\left(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\cdot \vec{e}\right)\vec{e}=\frac{x+y}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
となる。基本ベクトルの行き先は $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$ である。これらを列に並べて
$$A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

手順 2：$g$ を行列で表す。
角 $\theta$ の回転を表す行列は $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ である。$\theta =\frac{\pi }{2}$ では $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ なので
$$B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

手順 3：合成 $g\circ f$ を行列の積で表す。
先に $f$、次に $g$ を行うので、行列は $BA$ である（先に行う変換の行列を右に置く）。
$$BA=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

手順 4：点 $\mathrm{P}$ の像を求める。
$$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)$$

（確認：$f(\mathrm{P})=(2,2)$ であり、これを $\frac{\pi }{2}$ 回転すると $(-2,2)$ となって一致する。）

よって、求める点の座標は $(-2,2)$ である。

点 $\mathrm{P}(3,1)$ を直線 $y=x$ に正射影する。方向ベクトル $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ を用いると、射影は $\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2}\right)$ である。$x=3,y=1$ を代入して $f(\mathrm{P})=(2,2)$ を得る。
次に $g$ は反時計回りに $\frac{\pi }{2}$ の回転で、$(x,y)\mapsto (-y,x)$ である。よって $g(2,2)=(-2,2)$。
検算：$(2,2)$ は $\mathrm{P}$ から直線 $y=x$ への垂線の足である。$\mathrm{P}-(2,2)=(1,-1)$ は $(1,1)$ と内積 0 で、垂直になっている。回転後の $(-2,2)$ は原点からの距離が $2\sqrt{2}$ で、回転前と同じである。また $(2,2)\cdot (-2,2)=0$ なので、角度は $\frac{\pi }{2}$ である。
答えは $(-2,2)$。