線形代数の問題

手順 1：2 次形式を対称行列で表す。
$xy$ の係数 $6$ を半分ずつ $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分に分けて
$$Q(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$$
と書ける。

手順 2：$A$ の固有値と固有ベクトルを求める。
$$\det (A-\lambda E)=(1-\lambda {)}^2-9=(\lambda -4)(\lambda +2)$$
より、固有値は $\lambda =4,-2$ である。

• $\lambda =4$ のとき：$(A-4E)\mathbf{v}=0$ は $-3v_1+3v_2=0$ となる。よって長さ $1$ の固有ベクトルとして ${\mathbf{p}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ がとれる。
• $\lambda =-2$ のとき：$(A+2E)\mathbf{v}=0$ は $3v_1+3v_2=0$ となる。よって ${\mathbf{p}}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ がとれる。

手順 3：直交変換で標準形にする。
$P=({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2)$ は回転角 $\frac{\pi }{4}$ の回転行列（直交行列）である。
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$$
とおくと、${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$ である。したがって
$$Q=4X^2-2Y^2$$
となる。固有値が正と負の 1 つずつなので、$Q$ は不定符号である（正定値ではない）。

手順 4：曲線の形を読み取る。
$Q=8$ は $4X^2-2Y^2=8$、すなわち
$$\frac{X^2}{2}-\frac{Y^2}{4}=1$$
となる。これは $X$ 軸を主軸とする双曲線で、頂点は $(X,Y)=(\pm \sqrt{2},0)$ である。

回転では距離が変わらないので、2 つの頂点の間の距離は
$$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$$
である。

（確認：頂点はもとの座標で $(x,y)=(1,1),(-1,-1)$ である。$Q(1,1)=1+6+1=8$ が成り立ち、2 点間の距離は $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ となる。）

答え：$2\sqrt{2}$

$Q$ の係数行列は $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$ で、固有値は $\det (A-\lambda I)=(1-\lambda {)}^2-9=0$ より $\lambda =4,-2$ である。直交変換により $Q=4u^2-2v^2$ と書ける。曲線 $Q=8$ は $4u^2-2v^2=8$、すなわち $\frac{u^2}{2}-\frac{v^2}{4}=1$ となる。これは双曲線で、頂点は $(u,v)=(\pm \sqrt{2},0)$ である。2 つの頂点間の距離は $2\sqrt{2}$ である。
検算：固有ベクトル $(1,1)/\sqrt{2}$ の方向では $Q=x^2+6x^2+x^2=8x^2$ で、$x=y=t$ とすると $8t^2=8$ より $t=\pm 1$。頂点は $(1,1)$ と $(-1,-1)$ で、距離は $\sqrt{(2{)}^2+(2{)}^2}=2\sqrt{2}$ となり一致する。