内積空間とグラム・シュミットの直交化

一般の内積（関数の内積 $\int f g d x$ を含む）でノルム・直交を扱い、グラム・シュミットの直交化で正規直交基底を作れる

前提

ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
内積となす角（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
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内積となす角（数学C ベクトル）

説明

この技能を使うと、数ベクトルの内積だけでなく、関数どうしの内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ のような一般の内積でも、長さ（ノルム）や直交を考えられるようになります。さらに、一次独立なベクトルの組から、互いに直交し長さが 1 のベクトルの組（正規直交基底）を順番に作れます。正規直交基底があると、成分や射影は内積を 1 回計算するだけで求まります。そのため、多項式による関数の近似や、フーリエ解析・最小二乗法の準備として使われます。

なぜそうしてよいのか

実ベクトル空間 $V$ の任意の 2 元 $u, v$ に実数 $⟨ u, v ⟩$ を対応させる規則が次の 3 つを満たすとき、これを内積と呼びます。(1) 対称性 $⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩$ 。(2) 線形性 $⟨ a u + b w, v ⟩ = a ⟨ u, v ⟩ + b ⟨ w, v ⟩$ 。(3) 正値性 $⟨ v, v ⟩ \geq 0$ で、等号は $v = 0$ のときだけ成り立つ。成分による内積 $a \cdot b$ はこの 3 つを満たします。区間 $[a, b]$ 上の連続関数に対する $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f g d x$ も満たします（連続関数で $\int_{a}^{b} f^{2} d x = 0$ ならば $f = 0$ だからです）。内積を使って、ノルムを $∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩$ と定め、 $⟨ u, v ⟩ = 0$ のとき $u$ と $v$ は直交すると言います。互いに直交し、どれもノルムが 1 である組を正規直交系と呼びます。

グラム・シュミットの直交化の要点は、「すでに作った直交ベクトルの方向の成分を引き去れば、残りはそれらと直交する」ことです。 $u_{1}, \dots, u_{k - 1}$ が互いに直交する 0 でないベクトルだとして、 $u_{k} = v_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{⟨ v _{k} , u _{i} ⟩}{⟨ u _{i} , u _{i} ⟩} u_{i}$ とおきます。 $j < k$ について線形性を使い、 $i \neq = j$ では $⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ = 0$ となることを用いると、 $⟨ u_{k}, u_{j} ⟩ = ⟨ v_{k}, u_{j} ⟩ - \frac{⟨ v _{k} , u _{j} ⟩}{⟨ u _{j} , u _{j} ⟩} ⟨ u_{j}, u_{j} ⟩ = 0$ となります。これは、平面ベクトルで $b$ から $a$ 方向の正射影 $\frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ^{2}} a$ を引くと $a$ に垂直になる、という事実の一般化です。

$u_{k}$ は $v_{k}$ から $v_{1}, \dots, v_{k - 1}$ の一次結合を引いたものです。そのため、 $v_{1}, \dots, v_{k}$ が一次独立なら $u_{k} \neq = 0$ となり、 $∥ u_{k} ∥$ で割れます。こうして得た $e_{k} = u_{k} /∥ u_{k} ∥$ はノルムが 1 です。また、 $e_{1}, \dots, e_{k}$ は $v_{1}, \dots, v_{k}$ と同じ部分空間を張ります。さらに、0 でない直交ベクトルの組は一次独立です。実際、 $\sum c_{i} u_{i} = 0$ と $u_{j}$ の内積をとると $c_{j} ⟨ u_{j}, u_{j} ⟩ = 0$ となり、 $c_{j} = 0$ が出ます。したがって、基底から始めれば正規直交基底が得られます。

手順

使う内積 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ と、直交化する一次独立なベクトル $v_{1}, \dots, v_{n}$ とその順番を確認する（関数なら積分区間も確認する）
$u_{1} = v_{1}$ とおく
$k = 2, \dots, n$ の順に、それまでの $u_{i}$ の方向の成分を引く: $u_{k} = v_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{⟨ v _{k} , u _{i} ⟩}{⟨ u _{i} , u _{i} ⟩} u_{i}$
検算として $⟨ u_{k}, u_{i} ⟩ = 0 (i < k)$ を確かめる
各 $u_{k}$ をノルムで割って正規化する: $e_{k} = \frac{u _{k}}{∥ u _{k} ∥}$ 、ただし $∥ u_{k} ∥ = ⟨ u_{k}, u_{k} ⟩$

例題

区間 $[0, 1]$ 上の 2 次以下の実係数多項式全体に、内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x$ を入れる。基底 $1, x, x^{2}$ にこの順でグラム・シュミットの直交化を行い、正規直交基底 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ を得る。 $e_{3}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：内積は $[0, 1]$ 上の積分で、 $v_{1} = 1, v_{2} = x, v_{3} = x^{2}$ をこの順に直交化する。必要な積分は $\int_{0}^{1} x^{m} d x = \frac{1}{m + 1}$ で計算できる。

手順 2： $u_{1} = 1$ とおく。 $⟨ u_{1}, u_{1} ⟩ = \int_{0}^{1} 1 d x = 1$ である。

手順 3（ $k = 2$ ）： $⟨ x, 1 ⟩ = \frac{1}{2}$ より、 $u_{2} = x - \frac{1/2}{1} \cdot 1 = x - \frac{1}{2}$ となる。 $⟨ u_{2}, u_{2} ⟩ = \int_{0}^{1} (x - \frac{1}{2})^{2} d x = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ である。

手順 3（ $k = 3$ ）： $⟨ x^{2}, 1 ⟩ = \frac{1}{3}$ である。また $⟨ x^{2}, u_{2} ⟩ = \int_{0}^{1} (x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}) d x = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ である。よって
$u_{3} = x^{2} - \frac{1/3}{1} \cdot 1 - \frac{1/12}{1/12} (x - \frac{1}{2}) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$

手順 4（検算）： $⟨ u_{3}, 1 ⟩ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 0$ である。また $⟨ u_{3}, x ⟩ = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = 0$ である。 $u_{2}$ は $1$ と $x$ の一次結合なので、 $⟨ u_{3}, u_{2} ⟩ = 0$ も成り立つ。

手順 5（正規化）： $u_{3}^{2} = x^{4} - 2 x^{3} + \frac{4}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + \frac{1}{36}$ である。よって
$⟨ u_{3}, u_{3} ⟩ = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{36 - 90 + 80 - 30 + 5}{180} = \frac{1}{180}$
したがって $∥ u_{3} ∥ = \frac{1}{180} = \frac{1}{6 5}$ となる。これより
$e_{3} = 65 (x^{2} - x + \frac{1}{6}) = 5 (6 x^{2} - 6 x + 1)$
（参考： $e_{1} = 1$ 、 $e_{2} = 12 (x - \frac{1}{2}) = 3 (2 x - 1)$ である。）

答え: $5 (6 x^{2} - 6 x + 1)$

よくある誤り

射影を引くときに、直交化前の $v_{i}$ を使ってしまう誤り。例えば $u_{3} = v_{3} - \frac{⟨ v _{3} , v _{1} ⟩}{⟨ v _{1} , v _{1} ⟩} v_{1} - \frac{⟨ v _{3} , v _{2} ⟩}{⟨ v _{2} , v _{2} ⟩} v_{2}$ としてしまう。正しくは、すでに直交化した $u_{i}$ を使い、 $u_{3} = v_{3} - \frac{⟨ v _{3} , u _{1} ⟩}{⟨ u _{1} , u _{1} ⟩} u_{1} - \frac{⟨ v _{3} , u _{2} ⟩}{⟨ u _{2} , u _{2} ⟩} u_{2}$ とする。 $v_{1}, v_{2}$ は互いに直交していないので、 $v_{i}$ を使うと直交性が崩れる。
射影の係数をノルムで割ってしまう誤り。例えば $\frac{⟨ v , u ⟩}{∥ u ∥} u$ とする。正しくは、ノルムの 2 乗で割って $\frac{⟨ v , u ⟩}{⟨ u , u ⟩} u = \frac{⟨ v , u ⟩}{∥ u ∥ ^{2}} u$ とする。正規化済みの $e_{i}$ を使う場合に限り、 $⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i}$ と書ける。
関数のノルムを、積分区間を見ずに決めてしまう誤り。例えば、どの区間でも $∥1∥ = 1$ としてしまう。正しくは $∥1∥ = \int_{a}^{b} 1 d x = b - a$ であり、 $[- 1, 1]$ では $∥1∥ = 2$ なので $e_{1} = \frac{1}{2}$ となる。
ノルムを $\int_{a}^{b} ∣ f ∣ d x$ や $\int_{a}^{b} f^{2} d x$ としてしまう誤り。正しくは $∥ f ∥ = ⟨ f, f ⟩ = \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x$ である。例題の $u_{3}$ なら $∥ u_{3} ∥ = \frac{1}{180}$ であって、 $\frac{1}{180}$ ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

直交射影と最小二乗法（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
ノルム空間とバナッハ空間（大学院数学関数解析）
ガウス求積（大学数学数値解析）
指標の直交関係と重複度（大学院数学表現論）
ルート系と鏡映（大学院数学リー群・リー環）
ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
エルミート多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））