ガウス求積

$n$ 点のガウス求積（重み関数つきを含む）の節点を直交多項式の零点として、重みを精度の条件から求め、精度の次数が $2 n - 1$ であることや、 $f = x^{2 n}$ に適用したときの誤差を求められる

前提

求積公式の精度の次数（大学数学数値解析）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）

説明

ガウス求積は、 $n$ 個の節点と重みを使って $\int_{a}^{b} f (x) w (x) d x \approx \sum_{i = 1}^{n} w_{i} f (x_{i})$ と近似する求積公式です。節点と重みの両方を最適に選ぶので、 $2 n - 1$ 次までのすべての多項式で厳密に等号が成り立ちます。ここでは、節点を直交多項式の零点として求め、重みを精度の条件から決めます。さらに、精度の次数がちょうど $2 n - 1$ であることを示し、 $f = x^{2 n}$ のときの誤差を計算します。重み関数 $w (x)$ つきの積分（例: $\int_{0}^{1} f (x) x d x$ ）にもそのまま使えます。

なぜそうしてよいのか

区間 $[a, b]$ 上で $w (x) > 0$ （有限個の点を除く）とし、内積を $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) g (x) w (x) d x$ と定めます。 $1, x, x^{2}, \dots$ をこの内積でグラム・シュミットの直交化にかけ、最高次の係数を 1 にそろえたものを $π_{0}, π_{1}, \dots$ とします。 $π_{n}$ は $n$ 次の多項式で、 $n - 1$ 次以下のどの多項式とも直交します。 $π_{n}$ の零点はすべて実数で、互いに異なり、 $(a, b)$ の中にあります。なぜなら、 $π_{n}$ が $(a, b)$ で符号を変える点が $k < n$ 個 $t_{1}, \dots, t_{k}$ しかないとすると、 $q (x) = (x - t_{1}) \dots (x - t_{k})$ （ $k = 0$ なら $q = 1$ ）は次数 $n - 1$ 以下です。しかも $π_{n} q$ は $(a, b)$ で符号が一定で恒等的に 0 ではないので、 $⟨ π_{n}, q ⟩ \neq = 0$ となり、直交性に矛盾するからです。そこで、この $n$ 個の零点 $x_{1}, \dots, x_{n}$ を節点にし、 $f = 1, x, \dots, x^{n - 1}$ で等号が成り立つように重みを決めます。節点が相異なるので、この連立 1 次方程式の解はただ 1 つに決まります。

こうすると $2 n - 1$ 次以下の多項式 $f$ で等号が成り立ちます。 $f$ を $π_{n}$ で割って $f = q π_{n} + r$ （ $q, r$ は $n - 1$ 次以下）と書きます。すると $\int f w d x = ⟨ q, π_{n} ⟩ + \int r w d x = 0 + \sum w_{i} r (x_{i})$ です。一方、 $π_{n} (x_{i}) = 0$ より $f (x_{i}) = r (x_{i})$ なので、右辺は $\sum w_{i} f (x_{i})$ に一致します。

逆に、 $2 n$ 次の $f = π_{n}^{2}$ では等号が成り立ちません。左辺は $⟨ π_{n}, π_{n} ⟩ > 0$ ですが、右辺は $\sum w_{i} π_{n} (x_{i})^{2} = 0$ だからです。したがって精度の次数はちょうど $2 n - 1$ です。誤差を $E (f) = \int_{a}^{b} f w d x - \sum w_{i} f (x_{i})$ とおくと、 $x^{2 n} - π_{n}^{2}$ は $2 n - 1$ 次以下なので $E$ が 0 になります。よって $E (x^{2 n}) = E (π_{n}^{2}) = ⟨ π_{n}, π_{n} ⟩$ です。さらに $π_{n} = x^{n} + (低次)$ で、 $π_{n}$ は低次の項と直交するので、 $⟨ π_{n}, π_{n} ⟩ = ⟨ π_{n}, x^{n} ⟩$ と計算できます。

手順

内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f g w d x$ を定め、モーメント $m_{k} = \int_{a}^{b} x^{k} w (x) d x$ を必要な分（ $k = 0, \dots, 2 n$ ）だけ計算する。
最高次の係数が 1 の $n$ 次多項式 $π_{n} (x) = x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{0}$ を求める。条件は $⟨ π_{n}, x^{j} ⟩ = 0$ $(j = 0, \dots, n - 1)$ で、モーメントを使って $c_{j}$ の連立 1 次方程式を解く（グラム・シュミットで求めてもよい）。
$π_{n} (x) = 0$ を解き、 $n$ 個の相異なる実数解を節点 $x_{1}, \dots, x_{n}$ とする。
$f = 1, x, \dots, x^{n - 1}$ で等号が成り立つ条件 $\sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{k} = m_{k}$ $(k = 0, \dots, n - 1)$ を解いて、重み $w_{i}$ を求める。
精度の次数は $2 n - 1$ である。 $x^{2 n}$ に対する誤差は $E (x^{2 n}) = ⟨ π_{n}, π_{n} ⟩ = ⟨ π_{n}, x^{n} ⟩ = m_{2 n} + c_{n - 1} m_{2 n - 1} + \dots + c_{0} m_{n}$ で求める。

例題

重み関数 $w (x) = x$ の区間 $[0, 1]$ 上の 2 点ガウス求積 $\int_{0}^{1} f (x) x d x \approx w_{1} f (x_{1}) + w_{2} f (x_{2})$ を作る。 $f (x) = x^{4}$ に対する誤差 $E = \int_{0}^{1} x^{4} \cdot x d x - (w_{1} x_{1}^{4} + w_{2} x_{2}^{4})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: モーメントは $m_{k} = \int_{0}^{1} x^{k + 1} d x = \frac{1}{k + 2}$ である。よって $m_{0} = \frac{1}{2}, m_{1} = \frac{1}{3}, m_{2} = \frac{1}{4}, m_{3} = \frac{1}{5}, m_{4} = \frac{1}{6}$ 。

手順 2: $π_{2} = x^{2} + a x + b$ とおく。直交の条件は次の 2 つである。
$⟨ π_{2}, 1 ⟩ = m_{2} + a m_{1} + b m_{0} = \frac{1}{4} + \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 0$
$⟨ π_{2}, x ⟩ = m_{3} + a m_{2} + b m_{1} = \frac{1}{5} + \frac{a}{4} + \frac{b}{3} = 0$
分母を払うと $3 + 4 a + 6 b = 0$ 、 $12 + 15 a + 20 b = 0$ 。これを解いて $a = - \frac{6}{5}, b = \frac{3}{10}$ 。よって $π_{2} = x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{3}{10}$ 。

手順 3: $π_{2} = 0$ を解くと $x = \frac{6 \pm 6}{10}$ 。これが節点で、どちらも $(0, 1)$ の中にある。

手順 4: 重みは $w_{1} + w_{2} = m_{0} = \frac{1}{2}$ 、 $w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} = m_{1} = \frac{1}{3}$ から決まる。 $x_{1} = \frac{6 - 6}{10}$ として解くと $w_{1} = \frac{9 - 6}{36}, w_{2} = \frac{9 + 6}{36}$ 。

手順 5: 精度の次数は $3$ なので、 $x^{4}$ で初めて誤差が出る。その値は
$E = ⟨ π_{2}, x^{2} ⟩ = m_{4} + a m_{3} + b m_{2} = \frac{1}{6} - \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{4} = \frac{100 - 144 + 45}{600} = \frac{1}{600}$ 。

（検算）節点では $x^{2} = \frac{6}{5} x - \frac{3}{10}$ が成り立つので、これを繰り返し使うと $x^{4} = \frac{126}{125} x - \frac{171}{500}$ となる。よって $\sum w_{i} x_{i}^{4} = \frac{126}{125} \cdot \frac{1}{3} - \frac{171}{500} \cdot \frac{1}{2} = \frac{33}{200}$ 。したがって $E = \frac{1}{6} - \frac{33}{200} = \frac{1}{600}$ で一致する。

答え: $\frac{1}{600}$

よくある誤り

重み関数があるのに、重みなしの内積 $\int_{a}^{b} f g d x$ で直交化してしまう誤り。たとえば $\int_{0}^{1} f (x) x d x$ に、ルジャンドル型の節点（ $[0, 1]$ では $\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2 3}$ ）を使ってしまう。正しくは $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f g x d x$ で直交化し、節点は $\frac{6 \pm 6}{10}$ になる。
$n$ 点のガウス求積は $2 n$ 次まで厳密だと思い、 $E (x^{2 n}) = 0$ としてしまう誤り。正しくは精度の次数は $2 n - 1$ で、 $E (x^{2 n}) = ⟨ π_{n}, π_{n} ⟩ > 0$ である。例: $[- 1, 1]$ 、 $w = 1$ 、 $n = 2$ では $E (x^{4}) = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{8}{45}$ 。
誤差を最高次の係数が 1 でない直交多項式のノルムで計算してしまう誤り。例: $P_{2} = \frac{3 x ^{2} - 1}{2}$ で $∥ P_{2} ∥^{2} = \frac{2}{5}$ としてしまう。正しくは最高次の係数を 1 にした $π_{2} = x^{2} - \frac{1}{3}$ を使い、 $E (x^{4}) = ∥ π_{2} ∥^{2} = \frac{8}{45}$ （ $= \frac{2}{5} \div (\frac{3}{2})^{2}$ ）である。
重みを求めるとき、モーメントの右辺に重み関数をかけ忘れ、 $\sum w_{i} x_{i}^{k} = \int_{a}^{b} x^{k} d x$ としてしまう誤り。正しくは $\sum w_{i} x_{i}^{k} = \int_{a}^{b} x^{k} w (x) d x$ で、上の例なら $w_{1} + w_{2} = \frac{1}{2}$ （ $1$ ではない）となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

ガウス求積

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