台形公式とシンプソン公式

台形公式 $\frac{h}{2} (f (a) + f (b))$ ・シンプソン公式 $\frac{h}{3} (f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + f (x_{2}))$ とその複合公式で定積分の近似値を求め、厳密値との誤差を計算できる

前提

定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

説明

台形公式とシンプソン公式は、区間の端点や分点での関数値だけを使って定積分の近似値を求める方法です。原始関数が求めにくい関数や、表の形でしか値がわからない関数の積分を数値で求めるときに使います。区間を細かく分けて繰り返し使う「複合公式」にすると精度が上がります。また、厳密値がわかる多項式で試すと、近似値との差（誤差）を計算して公式の精度を確かめられます。

なぜそうしてよいのか

台形公式は、区間 $[a, b]$ で $f$ のグラフを 2 点 $(a, f (a))$ 、 $(b, f (b))$ を結ぶ線分（1 次式）に置き換え、その 1 次式を積分したものです。この部分の面積は上底 $f (a)$ 、下底 $f (b)$ 、高さ $h = b - a$ の台形の面積なので $\frac{h}{2} (f (a) + f (b))$ になります。

シンプソン公式は、3 点 $x_{0}, x_{1} = x_{0} + h, x_{2} = x_{0} + 2 h$ を通る 2 次式で $f$ を置き換えて積分したものです。式を簡単にするため $x_{1}$ が原点に来るように平行移動し、区間を $[- h, h]$ とします。2 次式 $g (x) = p x^{2} + q x + r$ について $\int_{- h}^{h} g (x) d x = [\frac{p}{3} x^{3} + \frac{q}{2} x^{2} + r x]_{- h}^{h} = \frac{2 p}{3} h^{3} + 2 r h$ です。一方 $g (- h) + 4 g (0) + g (h) = (p h^{2} - q h + r) + 4 r + (p h^{2} + q h + r) = 2 p h^{2} + 6 r$ なので、これに $\frac{h}{3}$ を掛けると $\frac{2 p}{3} h^{3} + 2 r h$ となり、積分と一致します。よって 3 点での値に重み $1, 4, 1$ を付けて $\frac{h}{3}$ 倍すれば、2 次式の積分がちょうど求まります。さらに $x^{3}$ を加えても、 $\int_{- h}^{h} x^{3} d x = 0$ で、 $(- h)^{3} + 4 \cdot 0^{3} + h^{3} = 0$ なので両辺とも変わりません。つまりシンプソン公式は 3 次以下の多項式に対しては誤差 0 です。

複合公式は、 $[a, b]$ を幅 $h = \frac{b - a}{n}$ の $n$ 個の小区間に分け、各小区間（シンプソンでは隣り合う 2 個ずつ）に上の公式を当てて足し合わせたものです。隣り合う区間で共有される分点の値が重なるので、台形では内部の点の係数が $2$ 、シンプソンでは係数が $1, 4, 2, 4, \dots, 2, 4, 1$ となります。シンプソンは 2 区間ずつ組にするので、 $n$ は偶数でなければなりません。

手順

使う公式と分割数 $n$ を決め、刻み幅 $h = \frac{b - a}{n}$ と分点 $x_{k} = a + k h (k = 0, 1, \dots, n)$ を求める（単独のシンプソン公式は $n = 2$ 、単独の台形公式は $n = 1$ 。シンプソンでは $n$ は偶数）
各分点での関数値 $f (x_{0}), f (x_{1}), \dots, f (x_{n})$ を計算する
台形公式なら $T = \frac{h}{2} (f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + \dots + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n}))$ を計算する
シンプソン公式なら $S = \frac{h}{3} (f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + \dots + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_{n}))$ を計算する
誤差を求めるときは、原始関数で厳密値 $I = \int_{a}^{b} f (x) d x$ を計算し、(近似値) $- I$ を求める

例題

定積分 $I = \int_{0}^{2} x^{4} d x$ をシンプソン公式（分割数 $n = 2$ ）で近似した値を $S$ とする。誤差 $S - I$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $n = 2$ なので $h = \frac{2 - 0}{2} = 1$ 、分点は $x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = 2$ 。
手順2: $f (x) = x^{4}$ より $f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 16$ 。
手順4: $S = \frac{1}{3} (0 + 4 \cdot 1 + 16) = \frac{20}{3}$ 。
手順5: 厳密値は $I = [\frac{x ^{5}}{5}]_{0}^{2} = \frac{32}{5}$ 。よって $S - I = \frac{20}{3} - \frac{32}{5} = \frac{100 - 96}{15} = \frac{4}{15}$ 。
（ $x^{4}$ は 4 次式なので、3 次以下で厳密というシンプソン公式の性質の範囲外となり、誤差が生じています。）

答え: $\frac{4}{15}$

よくある誤り

シンプソン公式の $h$ を区間全体の幅 $b - a$ としてしまう誤り。正しくは $h = \frac{b - a}{2}$ （例: $[0, 2]$ なら $h = 1$ で、 $\frac{2}{3} (0 + 4 + 16) = \frac{40}{3}$ は誤り）
複合台形公式で内部の分点の係数 2 を付け忘れ、 $\frac{h}{2} (f_{0} + f_{1} + \dots + f_{n})$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{h}{2} (f_{0} + 2 f_{1} + \dots + 2 f_{n - 1} + f_{n})$
複合シンプソン公式の係数を $1, 4, 4, \dots, 4, 1$ や $1, 4, 1, 4, 1$ のようにしてしまう誤り。正しくは $1, 4, 2, 4, \dots, 2, 4, 1$ で、偶数番目の内部点が $2$ 、奇数番目が $4$
複合シンプソン公式を奇数の分割数（例: $n = 3$ ）で使ってしまう誤り。シンプソン公式は 2 区間ずつ組にするので $n$ は偶数でなければならない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
定積分 $I = \int_{0}^{2} x^{4} d x$ を、区間 $[0, 2]$ を幅 $h = \frac{1}{2}$ の 4 つの小区間に等分した複合シンプソン公式 $S = \frac{h}{3} {f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + f (x_{4})} (x_{k} = k h, f (x) = x^{4})$ で近似する。このときの誤差 $S - I$ の値を、分数で厳密に求めよ。

この技能の次に学べること

求積公式の精度の次数（大学数学数値解析）