数値解析の問題

関数 $f(x)=x^3$ について、定積分
$$I={\int }_0^2{x}^{3}dx$$
を考える。区間 $[0,2]$ を幅 $h=\frac{1}{2}$ の 4 つの小区間に等分し、分点を $x_k=\frac{k}{2}(k=0,1,2,3,4)$ とする。複合台形公式
$$T=\frac{h}{2}\{f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\}$$
による近似値 $T$ と厳密値 $I$ との誤差 $T-I$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^2$ の定積分
$$I={\int }_1^3{x}^{2}dx$$
を考える。区間 $[1,3]$ を分割せずにそのまま 1 つの区間とみなし、$h=3-1=2$ として台形公式
$$T=\frac{h}{2}(f(1)+f(3))$$
で近似値 $T$ を求める。このときの誤差 $T-I$ を求めよ。

定積分 $$I={\int }_0^2{x}^{4}dx$$ を、区間 $[0,2]$ を幅 $h=\frac{1}{2}$ の 4 つの小区間に等分した複合シンプソン公式 $$S=\frac{h}{3}\{f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\}(x_k=kh,f(x)=x^4)$$ で近似する。このときの誤差 $S-I$ の値を、分数で厳密に求めよ。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=\frac{1}{2}\left(f(-1)+3f\left(\frac{1}{3}\right)\right)$$
を考える。この公式の精度の次数を求めよ。ただし、精度の次数とは「次数が $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して等号が成り立ち、ある $m+1$ 次多項式に対しては等号が成り立たない」ような 0 以上の整数 $m$ のことである。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=\frac{1}{2}f(-1)+\frac{3}{2}f\left(\frac{1}{3}\right)$$
を考える。この公式の精度の次数を求めよ。ここで公式の精度の次数とは、次数 $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して等号 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=Q[f]$ が成り立ち、ある $m+1$ 次の多項式に対しては成り立たないような 0 以上の整数 $m$ のことである。