数値解析の問題

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=\frac{1}{2}f(-1)+\frac{3}{2}f\left(\frac{1}{3}\right)$$
を考える。この公式の精度の次数を求めよ。ここで公式の精度の次数とは、次数 $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して等号 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=Q[f]$ が成り立ち、ある $m+1$ 次の多項式に対しては成り立たないような 0 以上の整数 $m$ のことである。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx \frac{1}{2}f(-1)+\frac{3}{2}f\left(\frac{1}{3}\right)$$
を考える。$f(x)=1,x,x^2,\dots$ を順に代入して、この公式の精度の次数を求めよ。ただし、精度の次数とは「次数が $m$ 以下のすべての多項式に対して公式が等号で成り立ち、ある $m+1$ 次の多項式に対しては成り立たない」ような整数 $m$ のことである。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対し、数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=af(-1)+bf(-t)+bf(t)+af(1)$$
を考える。ここで $a,b$ は実数の定数、$t$ は $0<t<1$ を満たす実数の定数である。

次数 $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して $Q[f]={\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ が成り立つような最大の整数 $m$ を、この公式の精度の次数という。

$a,b,t$ を、$f(x)=1,x^2,x^4$ のそれぞれに対して $Q[f]={\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ が成り立つように定める。このとき、公式 $Q$ の精度の次数 $d$ と、$f(x)=x^6$ に対する値 $Q[x^6]$ を、この順に組 $(d,Q[x^6])$ で答えよ。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対して、2 点ガウス求積公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=w_{1}f(x_1)+w_{2}f(x_2)(x_1<x_2)$$
を考える。節点 $x_1,x_2$ は、内積 $(g,h)={\int }_{-1}^{1}g(x)h(x)dx$ に関して $1,x$ と直交する 2 次のモニック多項式 $p_2(x)=x^2-\frac{1}{3}$ の零点とし、重み $w_1,w_2$ は $f(x)=1,x$ に対して公式が等号で成り立つように定める。

この公式を $f(x)=x^4$ に適用したときの誤差
$$E={\int }_{-1}^1{x}^{4}dx-Q[x^4]$$
を求めよ。

実数値連続関数 $f$ に対して、区間 $[-1,1]$ 上の積分を 2 点で近似する求積公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=w_{1}f(x_1)+w_{2}f(x_2)(x_1<x_2)$$
を考える。節点 $x_1,x_2$ と重み $w_1,w_2$ は、精度の次数が最大（$3$）になるように定める（2 点のガウス・ルジャンドル求積）。この公式を $f(x)=x^4$ に適用したときの誤差
$$E={\int }_{-1}^1{x}^{4}dx-Q[x^4]$$
の値を求めよ。