数値解析の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数値解析

区間 $[- 1, 1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対し、数値積分公式
$\int_{- 1}^{1} f (x) d x \approx Q [f] = a f (- 1) + b f (- t) + b f (t) + a f (1)$
を考える。ここで $a, b$ は実数の定数、 $t$ は $0 < t < 1$ を満たす実数の定数である。

次数 $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して $Q [f] = \int_{- 1}^{1} f (x) d x$ が成り立つような最大の整数 $m$ を、この公式の精度の次数という。

$a, b, t$ を、 $f (x) = 1, x^{2}, x^{4}$ のそれぞれに対して $Q [f] = \int_{- 1}^{1} f (x) d x$ が成り立つように定める。このとき、公式 $Q$ の精度の次数 $d$ と、 $f (x) = x^{6}$ に対する値 $Q [x^{6}]$ を、この順に組 $(d, Q [x^{6}])$ で答えよ。

この問題で使うもの

求積公式の精度の次数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

節点と重みが原点に関して対称なので、奇数次の単項式では $Q$ も積分も自動的に $0$ になります。偶数次の条件だけで $a, b, t$ を決めましょう。

ヒント 2

偶数 $k$ に対して $Q [x^{k}] = 2 a + 2 b t^{k}$ 、 $\int_{- 1}^{1} x^{k} d x = \frac{2}{k + 1}$ です。 $a + b = 1$ , $a + b t^{2} = \frac{1}{3}$ , $a + b t^{4} = \frac{1}{5}$ の差をとって $t^{2}$ を求めます。

ヒント 3

$b (1 - t^{2}) = \frac{2}{3}$ , $b t^{2} (1 - t^{2}) = \frac{2}{15}$ から $t^{2} = \frac{1}{5}$ 、 $b = \frac{5}{6}$ 、 $a = \frac{1}{6}$ となります。あとは $x^{5}$ と $x^{6}$ で正確かどうかを調べます。

答えと解説

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(5, \frac{26}{75})

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解説を読む

係数の決定

$f (x) = x^{k}$ に対する正確な値は
$\int_{- 1}^{1} x^{k} d x = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{k + 1} 0 (k が偶数) (k が奇数)$
である。 $Q$ は偶数次の単項式に対して
$Q [x^{k}] = 2 a + 2 b t^{k}$
となる。条件から
$(1) 2 a + 2 b = 2, (2) 2 a + 2 b t^{2} = \frac{2}{3}, (3) 2 a + 2 b t^{4} = \frac{2}{5}$
すなわち $a + b = 1$ , $a + b t^{2} = \frac{1}{3}$ , $a + b t^{4} = \frac{1}{5}$ である。

$(1) - (2)$ より $b (1 - t^{2}) = \frac{2}{3}$ 、 $(2) - (3)$ より $b t^{2} (1 - t^{2}) = \frac{2}{15}$ である。 $0 < t < 1$ より $1 - t^{2} \neq = 0$ かつ $b \neq = 0$ なので、辺々割って
$t^{2} = \frac{2/15}{2/3} = \frac{1}{5} .$
よって $t = \frac{1}{5}$ であり、 $b = \frac{2/3}{1 - 1/5} = \frac{5}{6}$ 、 $a = 1 - b = \frac{1}{6}$ と一意に定まる。

精度の次数

奇数次の単項式 $x^{k}$ については、節点と重みが原点に関して対称なので
$Q [x^{k}] = a {(- 1)^{k} + 1} + b {(- t)^{k} + t^{k}} = 0$
となり、正確な値 $0$ と一致する。したがって $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5}$ のすべてで正確である。 $Q$ も積分も $f$ について線形なので、次数 $5$ 以下のすべての多項式で正確になる。

$x^{6}$ については
$Q [x^{6}] = 2 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot (\frac{1}{5})^{3} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{3} + \frac{1}{75} = \frac{26}{75}$
となる。一方、正確な値は
$\int_{- 1}^{1} x^{6} d x = \frac{2}{7} = \frac{150}{525}$
であり、 $\frac{26}{75} = \frac{182}{525} \neq = \frac{150}{525}$ なので一致しない。よって次数 $6$ の多項式 $x^{6}$ で正確でなく、精度の次数は $d = 5$ である。

（この公式は 4 点のガウス・ロバット公式である。）

以上より、答えは $(d, Q [x^{6}]) = (5, \frac{26}{75})$ である。

別解

対称性より、奇数次の単項式 $x, x^{3}, x^{5}$ では両辺とも 0 になり、 $Q$ は常に正確である。

$f = 1$ : $2 a + 2 b = 2$ より $a + b = 1$ 。
$f = x^{2}$ : $2 a + 2 b t^{2} = 2/3$ より $a + b t^{2} = 1/3$ 。
$f = x^{4}$ : $2 a + 2 b t^{4} = 2/5$ より $a + b t^{4} = 1/5$ 。

$a = 1 - b$ を代入すると $b (1 - t^{2}) = 2/3$ 、 $b (1 - t^{4}) = 4/5$ を得る。
辺々を割ると $1 + t^{2} = 6/5$ なので $t^{2} = 1/5$ 、すなわち $t = 1/ 5$ 。
このとき $b = (2/3) / (4/5) = 5/6$ 、 $a = 1/6$ 。

$f = x^{6}$ について、
$Q [x^{6}] = 2 a + 2 b t^{6} = 1/3 + (5/3) (1/125) = 1/3 + 1/75 = 26/75$ 。
真の積分値は $\int_{- 1}^{1} x^{6} d x = 2/7$ 。
$26/75 \neq = 2/7$ なので $x^{6}$ は正確に積分されない。

次数 5 以下はすべて正確である。偶数次は $1, x^{2}, x^{4}$ で成り立ち、奇数次は対称性で成り立つ。次数 6 は不成立なので $d = 5$ 。

検算: $a + b = 1/6 + 5/6 = 1$ 、 $a + b t^{2} = 1/6 + 1/6 = 1/3$ 、 $a + b t^{4} = 1/6 + (5/6) (1/25) = 1/6 + 1/30 = 1/5$ 。いずれも条件を満たす。

答えは $(5, 26/75)$ 。

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