求積公式の精度の次数

$f = 1, x, x^{2}, \dots$ を順に代入して等号が成り立つかを調べ、求積公式の精度の次数を判定し、精度の次数が最大になるように重みや節点を連立方程式で決定できる

前提

台形公式とシンプソン公式（大学数学数値解析）

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算数中学高校大学大学院

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台形公式とシンプソン公式（大学数学数値解析）

説明

求積公式（定積分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ を、いくつかの点での値の重み付きの和 $\sum_{i} w_{i} f (x_{i})$ で近似する式）が、どの次数までの多項式なら誤差なしで積分できるかを判定する技能です。この最大の次数を「精度の次数」といい、公式の良さを比べる基本の物差しになります。さらに、重みや節点を未知数とおき、精度の次数ができるだけ大きくなるように連立方程式で決めることで、新しい求積公式を自分で作れるようになります。

なぜそうしてよいのか

求積公式 $Q (f) = \sum_{i} w_{i} f (x_{i})$ が、次数 $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して $Q (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ を満たし、ある $m + 1$ 次の多項式に対しては等号が成り立たないとき、 $Q$ の精度の次数は $m$ であるといいます。一見すると無数の多項式を調べる必要がありそうですが、そうではありません。積分も $Q$ も「和は和に、定数倍は定数倍に」移ります。つまり $\int_{a}^{b} (α f + β g) d x = α \int_{a}^{b} f d x + β \int_{a}^{b} g d x$ 、 $Q (α f + β g) = α Q (f) + β Q (g)$ です。 $m$ 次以下の多項式は $c_{0} \cdot 1 + c_{1} x + \dots + c_{m} x^{m}$ と書けるので、 $1, x, \dots, x^{m}$ の $m + 1$ 個で等号が成り立てば、 $m$ 次以下のすべての多項式で等号が成り立ちます。

次に $m + 1$ 次を考えます。 $1, \dots, x^{m}$ で等号が成り立ち、 $x^{m + 1}$ で成り立たないとします。このとき、 $m + 1$ 次の多項式 $c_{m + 1} x^{m + 1} + (m 次以下)$ で $c_{m + 1} \neq = 0$ のものは、どれも等号を満たしません。誤差が $c_{m + 1}$ と $x^{m + 1}$ での誤差の積になり、0 にならないからです。したがって、 $f = 1, x, x^{2}, \dots$ を順に代入して初めて等号が崩れる $x^{k}$ を見つければ、精度の次数は $k - 1$ と決まります。たとえば $[a, b]$ 上の台形公式 $\frac{b - a}{2} (f (a) + f (b))$ は、 $1$ と $x$ では厳密ですが、 $x^{2}$ では $\frac{b - a}{2} (a^{2} + b^{2}) \neq = \frac{b ^{3} - a ^{3}}{3}$ となるので（ $a < b$ のとき両者の差は $\frac{( b - a ) ^{3}}{6}$ ）、精度の次数は $1$ です。

逆に、重みや節点が未知数なら、「 $f = 1, x, x^{2}, \dots$ で等号が成り立つ」という条件を未知数についての方程式とみなせます。未知数が $N$ 個あれば、ふつうは $k = 0, 1, \dots, N - 1$ の $N$ 本の式で未知数が決まり、精度の次数が少なくとも $N - 1$ の公式が得られます。最後に $x^{N}$ でも成り立つかを確かめれば、精度の次数が確定します。

手順

近似したい積分 $I (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ と求積公式 $Q (f) = \sum_{i} w_{i} f (x_{i})$ を書き出す。
$f = x^{k}$ の厳密値 $I (x^{k}) = \frac{b ^{k + 1} - a ^{k + 1}}{k + 1}$ を $k = 0, 1, 2, \dots$ について計算する（ $f = 1$ のときは $Q (1) = \sum_{i} w_{i}$ となる）。
判定するとき： $k = 0, 1, 2, \dots$ の順に $Q (x^{k}) = I (x^{k})$ かどうか調べる。初めて成り立たなくなる $k$ を見つけ、精度の次数は $k - 1$ とする。
重みや節点を決めるとき：未知数の個数を $N$ として、 $Q (x^{k}) = I (x^{k}) (k = 0, 1, \dots, N - 1)$ の連立方程式を立てて解く（0 で割る変形をするときは、割る量が 0 でないことを確かめる）。
求めた公式で $k = N, N + 1, \dots$ についても等号を調べ、初めて崩れる次数から精度の次数を確定する。

例題

求積公式 $\int_{0}^{1} f (x) d x \approx A f (0) + B f (c)$ （ $0 < c \leq 1$ ）について、精度の次数が最大になるように定数 $A, B, c$ を定めよ。さらに、そのときの $A, B, c$ と精度の次数を順に求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $I (f) = \int_{0}^{1} f (x) d x$ 、 $Q (f) = A f (0) + B f (c)$ とおく。

【手順 2】 $I (x^{k}) = \frac{1}{k + 1}$ である。また $Q (1) = A + B$ である。 $k \geq 1$ のときは $f (0) = 0$ なので $Q (x^{k}) = B c^{k}$ となる。

【手順 4】未知数は $A, B, c$ の 3 個なので、 $k = 0, 1, 2$ で等号を課す。
$A + B = 1, B c = \frac{1}{2}, B c^{2} = \frac{1}{3} .$
第 2 式から $B \neq = 0$ である。第 3 式を第 2 式で割ると $c = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$ となり、これは $0 < c \leq 1$ を満たす。すると $B = \frac{1}{2 c} = \frac{3}{4}$ 、 $A = 1 - B = \frac{1}{4}$ となる。 $k = 0, 1, 2$ の 3 式を満たす $(A, B, c)$ はこの組だけである。

【手順 5】 $k = 3$ を調べると、 $Q (x^{3}) = B c^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{2}{9}$ 、 $I (x^{3}) = \frac{1}{4}$ である。 $\frac{2}{9} \neq = \frac{1}{4}$ なので等号は成り立たない。よって精度の次数は $2$ である。

精度の次数を 3 以上にするには、 $k = 0, 1, 2, 3$ のすべてで等号が必要である。しかし $k = 0, 1, 2$ を満たす組は上の 1 つしかなく、その組は $k = 3$ で等号を満たさない。したがって精度の次数は 3 以上にはできず、最大値は $2$ である。

答え： $A = \frac{1}{4}$ 、 $B = \frac{3}{4}$ 、 $c = \frac{2}{3}$ 、精度の次数は $2$ 。

答え: $(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}, 2)$

よくある誤り

等号が成り立った次数までしか調べずに、精度の次数を決めてしまう誤り。たとえば $\int_{0}^{1} f d x \approx \frac{1}{4} f (0) + \frac{3}{4} f (\frac{2}{3})$ が $x^{2}$ で厳密だと確かめた時点で「精度の次数は 2」と言い切るのは早すぎる。正しくは、 $x^{3}$ で $\frac{2}{9} \neq = \frac{1}{4}$ と崩れることまで確かめてから、精度の次数を 2 と結論する。
ある高い次数でたまたま等号が成り立つことを根拠に、精度の次数を大きく見積もる誤り。 $\int_{- 1}^{1} f d x \approx f (- 1) + f (1)$ は、 $x^{3}$ では $0 = 0$ が成り立つ。しかし $x^{2}$ で $2 \neq = \frac{2}{3}$ となるので、精度の次数は $3$ ではない。正しくは、 $1, x, x^{2}, \dots$ を小さい順に調べ、初めて崩れた $x^{2}$ の手前をとって精度の次数は $1$ である。
$f = 1$ の条件を忘れる誤り。 $f = 1$ を代入すると、条件は $\sum_{i} w_{i} = b - a$ （区間の長さ）となる。たとえば $\int_{0}^{2} f d x \approx A f (0) + B f (1) + C f (2)$ で、 $x, x^{2}$ の式だけから重みを決めようとすると解が決まらない。正しくは $A + B + C = 2$ も加え、 $A = C = \frac{1}{3}, B = \frac{4}{3}$ と決める。
節点の個数から精度の次数を決めつける誤り。たとえば「3 点を使うから精度の次数は 2」とするのは誤りである。正しくは、実際に代入して確かめる。 $[0, 2]$ 上のシンプソン公式 $\frac{1}{3} (f (0) + 4 f (1) + f (2))$ は、 $x^{3}$ でも $\frac{1}{3} (0 + 4 + 8) = 4 = \int_{0}^{2} x^{3} d x$ が成り立つ。 $x^{4}$ では $\frac{20}{3} \neq = \frac{32}{5}$ となるので、精度の次数は $3$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ガウス求積（大学数学数値解析）