数値解析の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル証明問題大学数学数値解析

$n$ を $2$ 以上の整数とし、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ を相異なる実数、 $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ を実数とする。区間 $[- 1, 1]$ 上の積分に対する数値積分公式
$Q (f) = i = 1 \sum n w_{i} f (x_{i})$
が、次数 $2 n - 1$ 以下のすべての実係数多項式 $p$ に対して
$\int_{- 1}^{1} p (x) d x = Q (p)$
を満たす（精度の次数が $2 n - 1$ 以上である）と仮定する。このとき、すべての $k = 1, 2, \dots, n$ に対して
$0 < w_{k} < 2$
が成り立つことを証明せよ。

この問題で使うもの

ラグランジュ補間（説明と入口の問題）
求積公式の精度の次数（説明と入口の問題）
ガウス求積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

重み $w_{k}$ だけを取り出すような多項式を公式に代入し、その積分の符号を調べる方針です。代入する多項式の次数が $2 n - 1$ 以下であることに注意しましょう。

ヒント 2

ラグランジュ基底多項式 $ℓ_{k} (x) = \prod_{j \neq = k} \frac{x - x _{j}}{x _{k} - x _{j}}$ の 2 乗 $ℓ_{k}^{2}$ を使います。これは次数 $2 n - 2$ で、節点での値は $ℓ_{k} (x_{i})^{2} = δ_{ik}$ です。

ヒント 3

公式の正確さから $w_{k} = \int_{- 1}^{1} ℓ_{k} (x)^{2} d x$ となります。右辺が正であることを、 $ℓ_{k}$ が零多項式でないことと連続性から確かめましょう。上からの評価には $p = 1$ を代入します。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

ラグランジュ基底多項式 $ℓ_{k}$ を定義し、節点が相異なることから定義でき、 $ℓ_{k} (x_{i})$ が $i = k$ で $1$ 、それ以外で $0$ となることを述べている（2 点）
$ℓ_{k}^{2}$ の次数が $2 n - 2 \leq 2 n - 1$ であることを確認し、公式の正確さから $\int_{- 1}^{1} ℓ_{k}^{2} d x = w_{k}$ を導いている（3 点）
$ℓ_{k}$ が零多項式でないことと連続性から、 $\int_{- 1}^{1} ℓ_{k}^{2} d x > 0$ を厳密に示し、 $w_{k} > 0$ を結論している（2 点）
定数関数 $1$ を代入して $\sum_{i} w_{i} = 2$ を得ている（1 点）
$n \geq 2$ により他の重みが少なくとも 1 つあり、それらが正であることから $w_{k} < 2$ を導いている（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

Step 1: ラグランジュ基底多項式. $k \in {1, \dots, n}$ を固定し、
$ℓ_{k} (x) = j \neq = k \prod \frac{x - x _{j}}{x _{k} - x _{j}}$
とおく。節点は相異なるので分母 $x_{k} - x_{j}$ $(j \neq = k)$ はすべて $0$ でなく、 $ℓ_{k}$ は次数 $n - 1$ の実係数多項式として定義できる。定義から
$ℓ_{k} (x_{i}) = {10 (i = k) (i \neq = k)$
である（ $i \neq = k$ のときは積の中に因子 $x_{i} - x_{i} = 0$ が現れるため、 $i = k$ のときは各因子が $1$ になるため）。

Step 2: $w_{k}$ を積分で表す. $p = ℓ_{k}^{2}$ は次数 $2 (n - 1) = 2 n - 2$ の多項式で、 $2 n - 2 \leq 2 n - 1$ だから、仮定より公式は $p$ に対して正確である。よって
$\int_{- 1}^{1} ℓ_{k} (x)^{2} d x = i = 1 \sum n w_{i} ℓ_{k} (x_{i})^{2} = w_{k} \cdot 1^{2} + i \neq = k \sum w_{i} \cdot 0^{2} = w_{k} . (1)$

Step 3: $w_{k} > 0$ . $ℓ_{k} (x_{k}) = 1$ なので $ℓ_{k}$ は零多項式ではなく、次数 $n - 1$ の多項式として実数の零点は高々 $n - 1$ 個である。区間 $(- 1, 1)$ は無限個の点を含むから、 $ℓ_{k} (t) \neq = 0$ となる $t \in (- 1, 1)$ が存在する。 $g (x) = ℓ_{k} (x)^{2}$ は連続で $g (t) > 0$ なので、ある $δ > 0$ があって $[t - δ, t + δ] \subset [- 1, 1]$ かつこの区間上で $g (x) \geq g (t) /2$ となる。 $[- 1, 1]$ 上で $g \geq 0$ だから
$\int_{- 1}^{1} g (x) d x \geq \int_{t - δ}^{t + δ} g (x) d x \geq 2 δ \cdot \frac{g ( t )}{2} = δ g (t) > 0.$
$(1)$ と合わせて $w_{k} > 0$ を得る。 $k$ は任意だったので、すべての $k$ で $w_{k} > 0$ である。

Step 4: 重みの和. 定数関数 $p (x) = 1$ は次数 $0 \leq 2 n - 1$ の多項式なので、公式は正確であり
$i = 1 \sum n w_{i} = Q (1) = \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2. (2)$

Step 5: $w_{k} < 2$ . $k$ を固定する。 $n \geq 2$ なので $i \neq = k$ となる添字 $i$ が少なくとも 1 つあり、Step 3 よりそれらの $w_{i}$ はすべて正であるから $\sum_{i \neq = k} w_{i} > 0$ である。 $(2)$ より
$w_{k} = 2 - i \neq = k \sum w_{i} < 2.$

結論. Step 3 と Step 5 より、すべての $k = 1, \dots, n$ に対して $0 < w_{k} < 2$ が成り立つ。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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