数値解析の問題

公式の右辺を $Q[f]=af(-1)+bf(0)+af(1)+c(f^{\prime }(1)-f^{\prime }(-1))$、左辺を $I[f]={\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ とおく。$I$ も $Q$ も $f$ について線形なので、次数 $m$ 以下の多項式すべてで等号が成り立つことは、$f(x)=1,x,x^2,\dots ,x^m$ のそれぞれで $I[f]=Q[f]$ が成り立つことと同値である。

奇数次の単項式

$f(x)=x^k$（$k$ は正の奇数）のとき、$I[f]=0$。一方 $f(-1)=-1$, $f(1)=1$, $f(0)=0$ で、$f^{\prime }(x)=k{x}^{k-1}$ は偶関数なので $f^{\prime }(1)-f^{\prime }(-1)=0$。よって $Q[f]=a(-1)+a\cdot 1+0=0$ となり、$a,b,c$ によらず等号が成り立つ。

偶数次の単項式

$f(x)=1$: $I=2$, $Q=2a+b$（$f^{\prime }=0$）。

$f(x)=x^2$: $I=\frac{2}{3}$, $f^{\prime }(x)=2x$ より $f^{\prime }(1)-f^{\prime }(-1)=4$ なので $Q=2a+4c$。

$f(x)=x^4$: $I=\frac{2}{5}$, $f^{\prime }(x)=4x^3$ より $f^{\prime }(1)-f^{\prime }(-1)=8$ なので $Q=2a+8c$。

一般に $f(x)=x^{2j}$（$j$ は正の整数）では $I=\frac{2}{2j+1}$, $Q=2a+4jc$ である。

係数の決定

未知数は 3 つなので、$x^0,x^2,x^4$ の 3 条件を課す。
$$2a+b=2,2a+4c=\frac{2}{3},2a+8c=\frac{2}{5}.$$
第 3 式から第 2 式を引いて $4c=\frac{2}{5}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{15}$、よって $c=-\frac{1}{15}$。
第 2 式から $2a=\frac{2}{3}+\frac{4}{15}=\frac{14}{15}$、よって $a=\frac{7}{15}$。
第 1 式から $b=2-\frac{14}{15}=\frac{16}{15}$。
この 3 条件の連立方程式の解はこれだけなので、精度の次数を $5$ 以上にする $(a,b,c)$ はこの 1 組に限られる。このとき $x^0,\dots ,x^5$ のすべて（奇数次は自動的に成立）で等号が成り立つので、精度の次数は $5$ 以上である。

$x^6$ での確認

$f(x)=x^6$ のとき $I=\frac{2}{7}$、$Q=2a+12c=\frac{14}{15}-\frac{12}{15}=\frac{2}{15}$。$\frac{2}{7}\ne \frac{2}{15}$ なので等号は成り立たない。したがってこの公式の精度の次数はちょうど $5$ である。

また、$(a,b,c)$ がこの 1 組以外なら $x^0,x^2,x^4$ のどれかで等号が崩れ、精度の次数は $3$ 以下になる。よって精度の次数の最大値は $5$ で、そのときの係数は上で求めたものである。

以上より $(a,b,c,m)=\left(\frac{7}{15},\frac{16}{15},-\frac{1}{15},5\right)$。

奇関数 $f$ では、左辺は $0$。右辺も $f(-1)+f(1)=0$、$f^{\prime }$ が偶関数なので $f^{\prime }(1)-f^{\prime }(-1)=0$ となり $0$。よって奇数次の単項式 $x,x^3,x^5,\dots$ ではつねに等号が成り立つ。偶数次の単項式で条件を決める。

$f=1$: $2=2a+b$。
$f=x^2$: $\frac{2}{3}=2a+c(2-(-2))=2a+4c$。
$f=x^4$: $\frac{2}{5}=2a+c(4-(-4))=2a+8c$。

後の 2 式を引くと $\frac{2}{3}-\frac{2}{5}=\frac{4}{15}=-4c$ より $c=-\frac{1}{15}$。$2a=\frac{2}{3}+\frac{4}{15}=\frac{14}{15}$ より $a=\frac{7}{15}$。$b=2-2a=\frac{16}{15}$。

次数の確認: $f=x^6$ で左辺 $\frac{2}{7}$、右辺 $2a+c(6+6)=\frac{14}{15}-\frac{12}{15}=\frac{2}{15}$。$\frac{2}{7}\ne \frac{2}{15}$ なので不成立。したがって $x^0,\dots ,x^5$ では成り立ち、$x^6$ では成り立たないので $m=5$。

検算: $x^4$ で右辺 $\frac{14}{15}-\frac{8}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ で一致。

答え: $\left(\frac{7}{15},\frac{16}{15},-\frac{1}{15},5\right)$。