数値解析の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数値解析

区間 $[0, 1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$\int_{0}^{1} f (x) d x \approx w_{0} f (0) + w_{1} f (t)$
を考える。ここで $w_{0}, w_{1}$ は実数の定数、 $t$ は $0 < t \leq 1$ を満たす実数の定数である。この公式の精度の次数（次数 $m$ 以下のすべての実数係数多項式 $f$ に対して等号が厳密に成り立つような最大の整数 $m$ ）ができるだけ大きくなるように $w_{0}, w_{1}, t$ を定めるとき、組 $(w_{0}, w_{1}, t)$ を求めよ。

この問題で使うもの

求積公式の精度の次数（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

公式は $f$ について線形なので、 $f (x) = 1, x, x^{2}, \dots$ に対して順に等号が成り立つ条件を書き出してみよう。未知数は 3 つある。

ヒント 2

$f (x) = 1, x, x^{2}$ に対する条件は $w_{0} + w_{1} = 1$ 、 $w_{1} t = \frac{1}{2}$ 、 $w_{1} t^{2} = \frac{1}{3}$ となる（ $f (0) = 0$ に注意）。

ヒント 3

2 つ目と 3 つ目の式の比から $t$ が求まる。その後、 $x^{3}$ でも厳密になるかどうかを $w_{1} t^{3}$ と $\frac{1}{4}$ を比べて確かめよう。

答えと解説

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(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3})

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解説を読む

公式は $f$ について線形なので、次数 $m$ 以下のすべての多項式で厳密であることは、 $f (x) = 1, x, x^{2}, \dots, x^{m}$ のそれぞれで厳密であることと同値である。

$f (x) = 1$ : $\int_{0}^{1} 1 d x = 1$ より
$w_{0} + w_{1} = 1 (1)$

$f (x) = x$ : $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ で、 $f (0) = 0$ なので
$w_{1} t = \frac{1}{2} (2)$

$f (x) = x^{2}$ : $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ で、 $f (0) = 0$ なので
$w_{1} t^{2} = \frac{1}{3} (3)$

未知数は $w_{0}, w_{1}, t$ の 3 つなので、まず $(1)$ 〜 $(3)$ を同時に満たせるか調べる。 $(2)$ より $w_{1} \neq = 0$ で、 $(3) \div (2)$ から
$t = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$
これは $0 < t \leq 1$ を満たす。 $(2)$ より $w_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ 、 $(1)$ より $w_{0} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ 。

したがって $(1)$ 〜 $(3)$ を満たす組はただ 1 つで、 $(w_{0}, w_{1}, t) = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3})$ である。このとき精度の次数は少なくとも $2$ である。

次数 $3$ 以上にできるか: さらに $f (x) = x^{3}$ でも厳密であるためには $w_{1} t^{3} = \frac{1}{4}$ が必要である。しかし精度の次数を $3$ 以上にするには $(1)$ 〜 $(3)$ も成り立たなければならず、それを満たす組は上の 1 つだけである。この組では
$w_{1} t^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{2}{9} \neq = \frac{1}{4}$
となるので、 $x^{3}$ に対して厳密にならない。よって精度の次数を $3$ 以上にすることはできず、最大の精度の次数は $2$ であり、それを実現する組は
$(w_{0}, w_{1}, t) = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3})$
に限られる。

別解

未知数は $w_{0}, w_{1}, t$ の 3 個なので、 $1, x, x^{2}$ に対して厳密に成り立つ条件（3 本）を課して精度の次数 2 を目指す。

$f = 1$ : $w_{0} + w_{1} = 1$
$f = x$ : $w_{1} t = \frac{1}{2}$
$f = x^{2}$ : $w_{1} t^{2} = \frac{1}{3}$

第 3 式を第 2 式で割ると $t = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$ 。これは $0 < t \leq 1$ を満たす。 $w_{1} = \frac{1}{2 t} = \frac{3}{4}$ 、 $w_{0} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ 。

次数 3 の確認: $f = x^{3}$ のとき、積分は $\frac{1}{4}$ 、公式の値は $w_{1} t^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{2}{9} \neq = \frac{1}{4}$ 。よって次数 3 では厳密でない。未知数 3 個に対し次数 3 には 4 本の条件が必要で、上の 3 本の条件から解は一意に決まっているので、これ以上の次数は不可能。したがって最大の次数は $m = 2$ で、そのときの $(w_{0}, w_{1}, t)$ は一意。

検算: $f = x^{2}$ のとき、 $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$ で積分値 $\frac{1}{3}$ と一致。 $f = x$ のとき、 $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ で一致。 $f = 1$ のとき $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ で一致。

答え: $(w_{0}, w_{1}, t) = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3})$

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