数値解析の問題

1. 次数 4 まで正確にはできないこと

どのように $A,B,\alpha ,\beta$ を選んでも、$f(x)=(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2$（次数 4）に対して右辺は $A\cdot 0+B\cdot 0=0$ である。一方、左辺は $x(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2\geqq 0$ が $[0,1]$ 上で恒等的に $0$ ではない連続関数なので
$${\int }_0^{1}x(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^{2}dx>0$$
となり、等号は成り立たない。よって $d\leqq 3$ である。

2. 次数 3 まで正確な公式の決定（ガウス型求積）

モーメントは ${\int }_0^{1}x\cdot x^{k}dx=\frac{1}{k+2}$ である。

公式が次数 3 まで正確であるとし、$p(x)=(x-\alpha )(x-\beta )=x^2+ax+b$ とおく。$k=0,1$ に対して $f(x)=x^{k}p(x)$ は次数 3 以下で、右辺は $0$ になるから
$${\int }_0^{1}xp(x)dx=0,{\int }_0^1{x}^{2}p(x)dx=0$$
が必要である。計算すると
$$\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=0,\frac{1}{5}+\frac{a}{4}+\frac{b}{3}=0.$$
それぞれ $12$ 倍、$60$ 倍して $3+4a+6b=0$、$12+15a+20b=0$。第 1 式より $b=-\frac{3+4a}{6}$ を第 2 式（を $6$ 倍したもの）に代入すると
$$72+90a-60-80a=0⟹a=-\frac{6}{5},b=\frac{3}{10}.$$
よって $p(x)=x^2-\frac{6}{5}x+\frac{3}{10}$ であり、
$$\alpha =\frac{6-\sqrt{6}}{10},\beta =\frac{6+\sqrt{6}}{10}$$
（いずれも $[0,1]$ 内）。

$A,B$ は $f=1,x$ で正確であることから
$$A+B=\frac{1}{2},A\alpha +B\beta =\frac{1}{3}$$
を満たすように定まる（$\alpha \ne \beta$ なので一意）。これを解くと $A=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{36}$, $B=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{36}$ である。

逆に、このように定めると、次数 3 以下の任意の多項式 $f$ を $f=qp+r$（$q,r$ は次数 1 以下）と割り算できる。このとき ${\int }_0^{1}xqpdx=0$ であり、右辺でも $qp$ の項は $p(\alpha )=p(\beta )=0$ より $0$ になる。$r$ に対しては $f=1,x$ で正確なので等号が成り立つ。したがって次数 3 まで正確である。以上より $d=3$ である。

3. $f(x)=x^4$ への適用

$x^4=p(x{)}^2+s(x)$（$s$ は次数 3 以下の多項式）と書ける。右辺は $p(\alpha {)}^2=p(\beta {)}^2=0$ より $Q=As(\alpha )+Bs(\beta )={\int }_0^{1}xs(x)dx$ となる。したがって
$${\int }_0^{1}x\cdot x^{4}dx-Q={\int }_0^{1}xp(x{)}^{2}dx.$$
ここで
$$p(x{)}^2=x^4-\frac{12}{5}{x}^3+\frac{51}{25}{x}^2-\frac{18}{25}x+\frac{9}{100}$$
なので
$${\int }_0^{1}xp(x{)}^{2}dx=\frac{1}{6}-\frac{12}{25}+\frac{51}{100}-\frac{6}{25}+\frac{9}{200}=\frac{100-288+306-144+27}{600}=\frac{1}{600}.$$
左辺の積分は ${\int }_0^1{x}^{5}dx=\frac{1}{6}$ なので
$$Q=\frac{1}{6}-\frac{1}{600}=\frac{99}{600}=\frac{33}{200}.$$

（確認）直接計算する。${\alpha }^2=\frac{42-12\sqrt{6}}{100}$ より ${\alpha }^4=\frac{2628-1008\sqrt{6}}{10000}$ であり、$A=\frac{9-\sqrt{6}}{36}$ だから
$$A{\alpha }^4=\frac{(9-\sqrt{6})(2628-1008\sqrt{6})}{360000}=\frac{29700-11700\sqrt{6}}{360000}=\frac{825-325\sqrt{6}}{10000}.$$
同様に（$\sqrt{6}$ を $-\sqrt{6}$ に置き換えて）$B{\beta }^4=\frac{825+325\sqrt{6}}{10000}$。よって
$$A{\alpha }^4+B{\beta }^4=\frac{1650}{10000}=\frac{33}{200}$$
となり、$\sqrt{6}$ の項が打ち消し合って一致する。

答え：$(d,Q)=\left(3,\frac{33}{200}\right)$

重み $w(x)=x$ の区間 $[0,1]$ 上のガウス型求積を考える。モーメントは ${\mu }_k={\int }_0^1{x}^{k+1}dx=\frac{1}{k+2}$ である。2 点の公式で正確な次数は最大で $2\cdot 2-1=3$ なので $d=3$ となる。

節点は重み $x$ に関する 2 次の直交多項式 $x^2+px+q$ の根である。条件は ${\int }_0^{1}x(x^2+px+q)x^{k}dx=0$ $(k=0,1)$ で、
$\frac{1}{4}+\frac{p}{3}+\frac{q}{2}=0$、$\frac{1}{5}+\frac{p}{4}+\frac{q}{3}=0$。
これを解くと $p=-\frac{6}{5},q=\frac{3}{10}$ となり、$10x^2-12x+3=0$ から $\alpha =\frac{6-\sqrt{6}}{10}\approx 0.355$、$\beta =\frac{6+\sqrt{6}}{10}\approx 0.845$。ともに $[0,1]$ 内にあり、条件 $0\le \alpha <\beta \le 1$ を満たす。

係数は $A+B=\frac{1}{2}$、$A\alpha +B\beta =\frac{1}{3}$ から決まる。$A=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{36}$、$B=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{36}$ となる。

次に $Q$ を求める。$x^2=\frac{6}{5}x-\frac{3}{10}$ を使うと $x^4\equiv 1.008x-0.342$ と簡約できる。節点では $x^4$ とこの 1 次式が一致し、公式は 1 次式に対して正確なので
$Q=1.008\cdot \frac{1}{3}-0.342\cdot \frac{1}{2}=0.336-0.171=0.165=\frac{33}{200}$。

検算：真の値は ${\int }_0^1{x}^{5}dx=\frac{1}{6}\approx 0.1667$ で、$Q$ と異なる。したがって次数 4 では正確でなく、$d=3$ と矛盾しない。