数値解析の問題

重み $x$ に関するモーメントを $m_k={\int }_0^{1}x\cdot x^{k}dx=\frac{1}{k+2}$ とおく: $m_0=\frac{1}{2},m_1=\frac{1}{3},m_2=\frac{1}{4},m_3=\frac{1}{5},m_4=\frac{1}{6}$。

節点の決定（ガウス型求積）
2 点で次数 $3$ まで正確な公式はガウス型求積であり、節点 $x_1,x_2$ は、重み $x$ に関して $1$ と $x$ の両方に直交する 2 次多項式 $p(x)=x^2+ax+b$ の零点である。直交条件は
$$m_2+a{m}_1+b{m}_0=0,m_3+a{m}_2+b{m}_1=0,$$
すなわち
$$\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=0,\frac{1}{5}+\frac{a}{4}+\frac{b}{3}=0.$$
それぞれ $12$ 倍、$60$ 倍して $3+4a+6b=0$, $12+15a+20b=0$。第 1 式から $b=-\frac{3+4a}{6}$ を第 2 式に代入して $6$ 倍すると $72+90a-60-80a=0$ より $a=-\frac{6}{5}$、$b=\frac{3}{10}$。よって
$$p(x)=x^2-\frac{6}{5}x+\frac{3}{10},x_{1,2}=\frac{6\mp \sqrt{6}}{10}.$$
（どちらも $[0,1]$ 内にある。）重みは $f=1,x$ に対して正確である条件 $w_1+w_2=\frac{1}{2},w_1{x}_1+w_2{x}_2=\frac{1}{3}$ から
$$w_1=\frac{9-\sqrt{6}}{36},w_2=\frac{9+\sqrt{6}}{36}$$
と求まる。

$Q[x^4]$ の計算
節点では $x_i^2=\frac{6}{5}{x}_i-\frac{3}{10}$ が成り立つので、$x^4$ を $p(x)$ で割った余りを求めればよい。
$$x^3\equiv \frac{6}{5}{x}^2-\frac{3}{10}x\equiv \frac{6}{5}\left(\frac{6}{5}x-\frac{3}{10}\right)-\frac{3}{10}x=\frac{57}{50}x-\frac{9}{25},$$
$$x^4\equiv \frac{57}{50}{x}^2-\frac{9}{25}x\equiv \frac{57}{50}\left(\frac{6}{5}x-\frac{3}{10}\right)-\frac{9}{25}x=\frac{126}{125}x-\frac{171}{500}.$$
したがって $x_i^4=\frac{126}{125}{x}_i-\frac{171}{500}$ $(i=1,2)$ であり、公式が 1 次式に対して正確であることから
$$Q[x^4]=\frac{126}{125}(w_1{x}_1+w_2{x}_2)-\frac{171}{500}(w_1+w_2)=\frac{126}{125}\cdot \frac{1}{3}-\frac{171}{500}\cdot \frac{1}{2}=\frac{336}{1000}-\frac{171}{1000}=\frac{33}{200}.$$
一方、真の値は ${\int }_0^1{x}^{5}dx=\frac{1}{6}$ なので
$$E=\frac{1}{6}-\frac{33}{200}=\frac{100-99}{600}=\frac{1}{600}.$$

検算: ガウス型求積の誤差公式 $E=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{\int }_0^{1}xp(x{)}^{2}dx$ において $f^{(4)}=24$、また直交性から ${\int }_0^{1}xp(x{)}^{2}dx={\int }_0^{1}xp(x)x^{2}dx=m_4-\frac{6}{5}{m}_3+\frac{3}{10}{m}_2=\frac{1}{6}-\frac{6}{25}+\frac{3}{40}=\frac{1}{600}$ となり一致する。

次数 3 以下で正確な 2 点公式なので、重み $x$ に関するガウス型公式であり、節点 $x_1,x_2$ は重み $x$ に関する 2 次の直交多項式 $q(x)=x^2+bx+c$ の根である。$q$ は $1,x$ と重み $x$ で直交する:
$${\int }_0^{1}xq(x)dx=\frac{1}{4}+\frac{b}{3}+\frac{c}{2}=0,{\int }_0^{1}x\cdot xq(x)dx=\frac{1}{5}+\frac{b}{4}+\frac{c}{3}=0.$$
第 1 式に $12$、第 2 式に $60$ をかけて $4b+6c=-3,15b+20c=-12$。第 1 式から $c=-\frac{3+4b}{6}$ を第 2 式に代入し $3$ 倍して整理すると $6+5b=0$、$b=-\frac{6}{5}$、$c=\frac{3}{10}$。よって $q(x)=x^2-\frac{6}{5}x+\frac{3}{10}$。根は $x=\frac{3\pm \sqrt{6}/}{5}$ ではなく $x=\frac{6/5\pm \sqrt{6/25}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{6}}{10}$ で、約 $0.355,0.845$ と $[0,1]$ に入るので条件を満たす。

誤差: $x^4$ を $q(x)$ で割って $x^4=q(x)(x^2+ux+v)+r(x)$（$\mathrm{deg}r\le 1$）と書く。公式は $\mathrm{deg}\le 3$ で正確なので $r$ に対して積分と $Q$ は一致し、さらに節点で $q=0$ より $Q[x^4]=Q[r]={\int }_0^{1}xr(x)dx$。よって
$$E={\int }_0^{1}xq(x)(x^2+ux+v)dx={\int }_0^{1}xq(x)x^{2}dx$$
（$q$ は $1,x$ と直交するので $ux+v$ の項は 0）。計算すると
$$E={\int }_0^1(x^5-\frac{6}{5}{x}^4+\frac{3}{10}{x}^3)dx=\frac{1}{6}-\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{5}+\frac{3}{10}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}-\frac{6}{25}+\frac{3}{40}=\frac{100-144+45}{600}=\frac{1}{600}.$$

検算: モーメントは ${\int }_0^1{x}^{k+1}dx=\frac{1}{k+2}$。$w_1+w_2=\frac{1}{2}$、$w_1{x}_1+w_2{x}_2=\frac{1}{3}$ などを使っても、$Q[x^4]={\int }_0^1{x}^{5}dx-E$ が $\frac{1}{6}-\frac{1}{600}=\frac{99}{600}=\frac{33}{200}$ となることと整合する（$Q[x^4]$ は $x^4$ を $x^4=\frac{6}{5}{x}^3-\frac{3}{10}{x}^2+q{x}^2$ と直すと $Q[x^4]=\frac{6}{5}Q[x^3]-\frac{3}{10}Q[x^2]=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{5}-\frac{3}{10}\cdot \frac{1}{4}=\frac{6}{25}-\frac{3}{40}=\frac{48-15}{200}=\frac{33}{200}$ と一致）。

したがって $E=\frac{1}{600}$。