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数値解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数値解析

区間 $[- 1, 1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対して、2 点ガウス求積公式
$\int_{- 1}^{1} f (x) d x \approx Q [f] = w_{1} f (x_{1}) + w_{2} f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$
を考える。節点 $x_{1}, x_{2}$ は、内積 $(g, h) = \int_{- 1}^{1} g (x) h (x) d x$ に関して $1, x$ と直交する 2 次のモニック多項式 $p_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3}$ の零点とし、重み $w_{1}, w_{2}$ は $f (x) = 1, x$ に対して公式が等号で成り立つように定める。

この公式を $f (x) = x^{4}$ に適用したときの誤差
$E = \int_{- 1}^{1} x^{4} d x - Q [x^{4}]$
を求めよ。

この問題で使うもの

ガウス求積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ガウス求積の技能を使います。節点は直交多項式 $p_{2} (x)$ の零点、重みは $f = 1, x$ で等号が成り立つ条件から決めます。

ヒント 2

$p_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3} = 0$ から節点は $\pm \frac{1}{3}$ 。重みは $w_{1} + w_{2} = 2$ と $- w_{1} + w_{2} = 0$ の連立方程式で求まります。

ヒント 3

$w_{1} = w_{2} = 1$ なので $Q [x^{4}] = (\frac{1}{3})^{4} \times 2 = \frac{2}{9}$ です。あとは厳密値 $\int_{- 1}^{1} x^{4} d x$ との差をとります。

答えと解説

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\frac{8}{45}

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解説を読む

手順 1：節点を求める。
節点は直交多項式 $p_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3}$ の零点である。 $x^{2} = \frac{1}{3}$ より
$x_{1} = - \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{1}{3} .$
（確認： $(p_{2}, 1) = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3}) d x = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$ 、 $(p_{2}, x) = \int_{- 1}^{1} (x^{3} - \frac{1}{3} x) d x = 0$ なので、確かに $1, x$ と直交している。）

手順 2：重みを精度の条件から求める。
$f = 1$ のとき： $\int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ なので $w_{1} + w_{2} = 2$ 。
$f = x$ のとき： $\int_{- 1}^{1} x d x = 0$ なので $- \frac{w _{1}}{3} + \frac{w _{2}}{3} = 0$ 、すなわち $w_{1} = w_{2}$ 。
よって $w_{1} = w_{2} = 1$ で、
$Q [f] = f (- \frac{1}{3}) + f (\frac{1}{3}) .$

手順 3：精度の次数を確認する。
$f = x^{2}$ ： $\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3}$ 、 $Q [x^{2}] = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ で一致。
$f = x^{3}$ ： $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ 、 $Q [x^{3}] = - \frac{1}{3 3} + \frac{1}{3 3} = 0$ で一致。
したがって 3 次以下の多項式で厳密であり、精度の次数は $2 n - 1 = 3$ （ $n = 2$ ）である。

手順 4： $f = x^{4}$ に適用した誤差を求める。
厳密値は
$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x = [\frac{x ^{5}}{5}]_{- 1}^{1} = \frac{2}{5} .$
公式の値は
$Q [x^{4}] = (- \frac{1}{3})^{4} + (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} .$
よって
$E = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18 - 10}{45} = \frac{8}{45} .$
$E \neq = 0$ なので、 $x^{4}$ では等号が成り立たず、精度の次数がちょうど 3 であることもわかる。

別解

節点は $p_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3} = 0$ より $x_{1} = - \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{1}{3}$ 。重みは $f = 1$ で $w_{1} + w_{2} = 2$ 、 $f = x$ で $w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} = 0$ より $w_{1} = w_{2}$ なので $w_{1} = w_{2} = 1$ 。

$f = x^{4}$ について、厳密値は $\int_{- 1}^{1} x^{4} d x = \frac{2}{5}$ 。
求積値は $Q [x^{4}] = (\frac{1}{3})^{4} \cdot 2 = \frac{1}{9} \cdot 2 = \frac{2}{9}$ 。

よって $E = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18 - 10}{45} = \frac{8}{45}$ 。

検算：誤差公式 $E = \frac{f ^{(4)} ( ξ )}{4 !} \int p_{2}^{2} d x$ を用いる。 $f^{(4)} = 24$ なので $E = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3})^{2} d x = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{9} \cdot 2 = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{8}{45}$ 。一致する。

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