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数値解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数値解析

区間 $[- 1, 1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対して、2 点の求積公式
$\int_{- 1}^{1} f (x) d x \approx Q [f] = w_{1} f (x_{1}) + w_{2} f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$
を考える。節点 $x_{1}, x_{2}$ は、内積 $(g, h) = \int_{- 1}^{1} g (x) h (x) d x$ に関して $1$ と $x$ の両方に直交する、最高次の係数が $1$ の 2 次多項式の零点とする。重み $w_{1}, w_{2}$ は、 $f (x) = 1$ と $f (x) = x$ に対して公式が等号で成り立つように定める（これが 2 点ガウス・ルジャンドル求積である）。

この公式を $f (x) = x^{4}$ に適用したときの誤差
$E = \int_{- 1}^{1} x^{4} d x - Q [x^{4}]$
を求めよ。

この問題で使うもの

ガウス求積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ガウス求積の手順を使う：節点は直交多項式の零点、重みは $f = 1, x$ で等号が成り立つ条件から決める。

ヒント 2

$p_{2} (x) = x^{2} + a x + b$ とおき、 $\int_{- 1}^{1} p_{2} d x = 0$ , $\int_{- 1}^{1} x p_{2} d x = 0$ から $a, b$ を決める。

ヒント 3

$p_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3}$ より節点は $\pm \frac{1}{3}$ 、重みは $w_{1} = w_{2} = 1$ 。あとは $\int_{- 1}^{1} x^{4} d x$ と $Q [x^{4}]$ を計算して差をとる。

答えと解説

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\frac{8}{45}

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解説を読む

手順 1：節点を直交多項式の零点として求める。

求める 2 次多項式を $p_{2} (x) = x^{2} + a x + b$ とおく。 $1$ と $x$ に直交する条件は
$\int_{- 1}^{1} (x^{2} + a x + b) d x = \frac{2}{3} + 2 b = 0,$
$\int_{- 1}^{1} x (x^{2} + a x + b) d x = \int_{- 1}^{1} (x^{3} + a x^{2} + b x) d x = \frac{2 a}{3} = 0.$
（奇関数 $x$ , $x^{3}$ の $[- 1, 1]$ での積分は $0$ 。）よって $a = 0$ , $b = - \frac{1}{3}$ で、 $p_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3}$ 。その零点は
$x_{1} = - \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{1}{3} .$

手順 2：重みを精度の条件から求める。

$f = 1$ ： $w_{1} + w_{2} = \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ 。

$f = x$ ： $- \frac{w _{1}}{3} + \frac{w _{2}}{3} = \int_{- 1}^{1} x d x = 0$ より $w_{1} = w_{2}$ 。

したがって $w_{1} = w_{2} = 1$ 。こうして得た公式 $Q [f] = f (- \frac{1}{3}) + f (\frac{1}{3})$ は、ガウス求積の性質により $2 n - 1 = 3$ 次までの多項式に対して厳密である（実際 $Q [x^{2}] = \frac{2}{3} = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x$ 、 $Q [x^{3}] = 0 = \int_{- 1}^{1} x^{3} d x$ ）。

手順 3： $f = x^{4}$ の誤差を計算する。

厳密値は $\int_{- 1}^{1} x^{4} d x = [\frac{x ^{5}}{5}]_{- 1}^{1} = \frac{2}{5}$ 。

近似値は $Q [x^{4}] = (\frac{1}{3})^{4} + (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ 。

よって
$E = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18 - 10}{45} = \frac{8}{45} .$

（確認： $x^{4} = p_{2} (x)^{2} + (3 次以下の多項式)$ と書け、 $p_{2}$ は節点で $0$ なので $E = \int_{- 1}^{1} p_{2} (x)^{2} d x = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{45}$ となり一致する。）

答え： $E = \frac{8}{45}$

別解

1 と $x$ に直交する monic な 2 次多項式を $p (x) = x^{2} + a x + b$ とおく。

$(p, 1) = \int_{- 1}^{1} (x^{2} + a x + b) d x = \frac{2}{3} + 2 b = 0$ より $b = - \frac{1}{3}$ 。

$(p, x) = \int_{- 1}^{1} (x^{3} + a x^{2} + b x) d x = \frac{2 a}{3} = 0$ より $a = 0$ 。

よって $p (x) = x^{2} - \frac{1}{3}$ で、零点は $x_{1} = - \frac{1}{3}$ , $x_{2} = \frac{1}{3}$ 。

重みは $f = 1$ から $w_{1} + w_{2} = 2$ 、 $f = x$ から $w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} = 0$ 。節点が対称なので $w_{1} = w_{2}$ となり、 $w_{1} = w_{2} = 1$ 。

$Q [x^{4}] = (\frac{1}{3})^{4} + (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ 。

$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x = \frac{2}{5}$ 。

$E = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18 - 10}{45} = \frac{8}{45}$ 。

検算：誤差は $\frac{f ^{(4)} ( ξ )}{4 !} \int_{- 1}^{1} p (x)^{2} d x$ で表される。 $f^{(4)} = 24$ なので誤差は $\int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3})^{2} d x$ に等しい。

$\int_{- 1}^{1} (x^{4} - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{9}) d x = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{8}{45}$ 。一致する。

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