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数値解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数値解析

実数値連続関数 $f$ に対して、区間 $[- 1, 1]$ 上の積分を 2 点で近似する求積公式
$\int_{- 1}^{1} f (x) d x \approx Q [f] = w_{1} f (x_{1}) + w_{2} f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$
を考える。節点 $x_{1}, x_{2}$ と重み $w_{1}, w_{2}$ は、精度の次数が最大（ $3$ ）になるように定める（2 点のガウス・ルジャンドル求積）。この公式を $f (x) = x^{4}$ に適用したときの誤差
$E = \int_{- 1}^{1} x^{4} d x - Q [x^{4}]$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ガウス求積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（46 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ガウス求積の技能を使います。節点は、 $\int_{- 1}^{1} f g d x$ の内積で直交する 2 次の多項式の零点です。

ヒント 2

$1, x, x^{2}$ をグラム・シュミットで直交化すると $p_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3}$ になります。重みは $f = 1, x$ で等号が成り立つ条件から決めます。

ヒント 3

節点は $\pm \frac{1}{3}$ 、重みは $w_{1} = w_{2} = 1$ です。あとは $\int_{- 1}^{1} x^{4} d x$ と $Q [x^{4}]$ を計算して差をとります。

答えと解説

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\frac{8}{45}

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解説を読む

手順 1：節点を直交多項式の零点として求める。
内積 $⟨ p, q ⟩ = \int_{- 1}^{1} p (x) q (x) d x$ に関して、 $1, x, x^{2}$ をグラム・シュミットの方法で直交化する（正規化はしなくてよい）。
- $p_{0} (x) = 1$
- $⟨ x, 1 ⟩ = \int_{- 1}^{1} x d x = 0$ なので $p_{1} (x) = x$
- $⟨ x^{2}, 1 ⟩ = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3}$ , $⟨ 1, 1 ⟩ = 2$ , $⟨ x^{2}, x ⟩ = \int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ より
$p_{2} (x) = x^{2} - \frac{2/3}{2} \cdot 1 = x^{2} - \frac{1}{3} .$
2 点のガウス求積の節点は $p_{2}$ の零点なので
$x_{1} = - \frac{1}{3}, x_{2} = \frac{1}{3} .$

手順 2：重みを精度の条件から求める。
$f = 1$ と $f = x$ で等号が成り立つ条件は
$w_{1} + w_{2} = \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2, w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} = \frac{1}{3} (- w_{1} + w_{2}) = \int_{- 1}^{1} x d x = 0.$
よって $w_{1} = w_{2} = 1$ 。このとき公式は $Q [f] = f (- \frac{1}{3}) + f (\frac{1}{3})$ で、 $f = x^{2}$ では $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x$ 、 $f = x^{3}$ では $0 = \int_{- 1}^{1} x^{3} d x$ となり、精度の次数は $2 \cdot 2 - 1 = 3$ である。

手順 3： $f = x^{4}$ に適用して誤差を求める。
$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x = [\frac{x ^{5}}{5}]_{- 1}^{1} = \frac{2}{5},$
$Q [x^{4}] = (- \frac{1}{3})^{4} + (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} .$
したがって
$E = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18 - 10}{45} = \frac{8}{45} .$
$E \neq = 0$ なので、精度の次数はちょうど $3$ であることも確かめられる。

別解

2点ガウス・ルジャンドル求積では、 $1, x, x^{2}, x^{3}$ に対して厳密であるという条件から節点と重みを定める。

$w_{1} + w_{2} = 2$ 、 $w_{1} x_{1} + w_{2} x_{2} = 0$ 、 $w_{1} x_{1}^{2} + w_{2} x_{2}^{2} = \frac{2}{3}$ 、 $w_{1} x_{1}^{3} + w_{2} x_{2}^{3} = 0$ を解く。

対称性から $x_{1} = - a, x_{2} = a, w_{1} = w_{2} = 1$ とおく。このとき $2 a^{2} = \frac{2}{3}$ より $a^{2} = \frac{1}{3}$ 、 $a = \frac{1}{3}$ となる。これは1次・3次の条件も満たす。

$f (x) = x^{4}$ に適用すると、 $Q [x^{4}] = 2 a^{4} = 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ 。

厳密な積分値は $\int_{- 1}^{1} x^{4} d x = \frac{2}{5}$ 。

よって $E = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18 - 10}{45} = \frac{8}{45}$ 。

検算：誤差公式 $E = \frac{f ^{(4)} ( ξ )}{4 !} \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3})^{2} d x$ を用いる。 $f^{(4)} = 24$ なので $E = \int_{- 1}^{1} (x^{4} - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{9}) d x = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{8}{45}$ となり、一致する。

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