ラグランジュ補間

相異なる $n + 1$ 点を通る次数 $n$ 以下の補間多項式がただ 1 つであることを使い、ラグランジュの基底多項式 $L_{i} (x) = \prod_{j \neq = i} \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$ で $p (x) = \sum f (x_{i}) L_{i} (x)$ を作って、指定した点での値 $p (c)$ を求められる

前提

剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）

説明

ラグランジュ補間を使うと、相異なる $n + 1$ 個の点 $(x_{0}, y_{0}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ を通る次数 $n$ 以下の多項式 $p (x)$ を、連立方程式を解かずに直接書き下せます。さらに、その多項式を展開しなくても、指定した点 $c$ での値 $p (c)$ を求められます。測定データの間の値を推定するときや、数値積分・数値微分の公式を作るときの土台として使います。

なぜそうしてよいのか

まず、各点 $x_{i}$ に対して「 $x_{i}$ では $1$ 、ほかの点 $x_{j} (j \neq = i)$ ではすべて $0$ 」となる多項式を作ります。 $x_{j} (j \neq = i)$ で $0$ になるには、因数定理より $x - x_{j}$ をすべて因数にもてばよいので、積 $\prod_{j \neq = i} (x - x_{j})$ を考えます。これは $n$ 個の 1 次式の積なので次数 $n$ です。 $x = x_{i}$ を代入すると $\prod_{j \neq = i} (x_{i} - x_{j})$ になります。点が相異なるのでこの値は $0$ ではなく、これで割ることができます。こうして $L_{i} (x) = \prod_{j \neq = i} \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$ とおくと、 $L_{i} (x_{i}) = 1$ 、 $L_{i} (x_{j}) = 0 (j \neq = i)$ となります。

そこで $p (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} L_{i} (x)$ とおきます。 $x = x_{k}$ を代入すると、 $i = k$ の項だけが残って $p (x_{k}) = y_{k}$ になります。各 $L_{i}$ の次数は $n$ なので、その和である $p$ の次数は $n$ 以下です。つまり $p$ は求める補間多項式です。

このような多項式はただ 1 つしかありません。条件をみたす多項式 $p, q$ が 2 つあったとすると、差 $r = p - q$ は次数 $n$ 以下で、 $n + 1$ 個の相異なる点 $x_{0}, \dots, x_{n}$ で $0$ になります。 $r$ が $0$ でない多項式だとすると、因数定理で根を 1 つ見つけるたびに 1 次式をくくり出せるので、根は高々 $n$ 個しかありません。これは矛盾なので $r = 0$ 、すなわち $p = q$ です。したがって、どんな方法で作っても補間多項式は同じものになり、 $p (c) = \sum y_{i} L_{i} (c)$ で値を求めてよいことがわかります。

手順

与えられた点 $x_{0}, \dots, x_{n}$ がすべて相異なることを確かめ、それぞれの値 $y_{i} = f (x_{i})$ を書き出す。
各 $i$ について、 $L_{i} (c) = \prod_{j \neq = i} \frac{c - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$ を計算する。分子は $c$ から $x_{i}$ 以外の点を引いたものの積、分母は $x_{i}$ から $x_{i}$ 以外の点を引いたものの積である。
確認として $\sum_{i} L_{i} (c) = 1$ となることを見る。定数関数 $1$ の補間多項式は $1$ 自身なので、この和は必ず $1$ になる。
$p (c) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} L_{i} (c)$ を計算する。

例題

3 点 $(0, 1), (1, 2), (3, 10)$ を通る次数 2 以下の多項式を $p (x)$ とする。ラグランジュ補間を用いて $p (2)$ を求めよ。

例題の解答

手順1: 点は $x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = 3$ で、すべて相異なる。値は $y_{0} = 1, y_{1} = 2, y_{2} = 10$ である。

手順2: $c = 2$ として基底多項式の値を計算する。
$L_{0} (2) = \frac{( 2 - 1 ) ( 2 - 3 )}{( 0 - 1 ) ( 0 - 3 )} = \frac{- 1}{3} = - \frac{1}{3}$
$L_{1} (2) = \frac{( 2 - 0 ) ( 2 - 3 )}{( 1 - 0 ) ( 1 - 3 )} = \frac{- 2}{- 2} = 1$
$L_{2} (2) = \frac{( 2 - 0 ) ( 2 - 1 )}{( 3 - 0 ) ( 3 - 1 )} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

手順3: $- \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 1$ となり、計算は正しそうである。

手順4: $p (2) = 1 \cdot (- \frac{1}{3}) + 2 \cdot 1 + 10 \cdot \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} + 2 + \frac{10}{3} = 5$ 。

(参考: 実際に $p (x) = x^{2} + 1$ で、 $p (2) = 5$ と一致する。)

答え: $5$

よくある誤り

分母の引き算の順序を逆にしてしまう誤り。例えば $L_{0}$ の分母を $(1 - 0) (3 - 0) = 3$ としてしまう。正しくは $(x_{0} - x_{1}) (x_{0} - x_{2}) = (0 - 1) (0 - 3) = 3$ のように、 $x_{i} - x_{j}$ の順に引く。この例では偶然一致するが、因数が奇数個だと符号が逆になる。
積に $j = i$ の因数まで含めてしまう誤り。例えば $L_{1} (x)$ に $\frac{x - x _{1}}{x _{1} - x _{1}}$ を入れると、分母が $0$ になる。正しくは $j \neq = i$ の因数だけを掛けるので、 $L_{1} (x) = \frac{( x - x _{0} ) ( x - x _{2} )}{( x _{1} - x _{0} ) ( x _{1} - x _{2} )}$ となる。
$L_{i} (c)$ をそのまま足して、値 $y_{i}$ を掛け忘れる誤り。 $\sum L_{i} (c)$ は常に $1$ である。正しくは $p (c) = \sum y_{i} L_{i} (c)$ とする。
補間多項式の次数はちょうど $n$ だと思い込む誤り。例えば 3 点 $(0, 1), (1, 3), (2, 5)$ では $p (x) = 2 x + 1$ で、次数は 1 である。正しくは次数は「 $n$ 以下」であり、一意性も次数 $n$ 以下の多項式の中で成り立つ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

差分商とニュートンの補間公式（大学数学数値解析）