数値解析の問題

相異なる 3 点を通る次数 $2$ 以下の多項式はただ 1 つなので、$p(x)$ はラグランジュの補間公式で表せます。

節点を $x_0=-1,x_1=1,x_2=2$ とすると、基底多項式は
$$L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{6},$$
$$L_1(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}=\frac{(x+1)(x-2)}{-2},$$
$$L_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{(2+1)(2-1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{3}$$
です。これらを使うと
$$p(x)=5L_0(x)+1\cdot L_1(x)+4L_2(x)$$
と書けます。

$x=0$ での各基底多項式の値を計算します。
$$L_0(0)=\frac{(-1)(-2)}{6}=\frac{1}{3},L_1(0)=\frac{(1)(-2)}{-2}=1,L_2(0)=\frac{(1)(-1)}{3}=-\frac{1}{3}.$$

したがって
$$p(0)=5\cdot \frac{1}{3}+1\cdot 1+4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{3}+1-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}.$$

（確認）$p(x)=a{x}^2+bx+c$ とおくと、$a-b+c=5$, $a+b+c=1$, $4a+2b+c=4$ です。はじめの 2 式の差から $b=-2$、和から $a+c=3$ です。これを第 3 式に代入すると $4a+c=8$ となり、$a=\frac{5}{3}$, $c=\frac{4}{3}$ です。よって $p(0)=c=\frac{4}{3}$ となり、一致します。

答え：$p(0)=\frac{4}{3}$

ラグランジュ補間より、節点 $x_0=-1,x_1=1,x_2=2$ に対する基底多項式は次のとおり。
$L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{6}$
$L_1(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}=-\frac{(x+1)(x-2)}{2}$
$L_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{(2+1)(2-1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{3}$

$x=0$ を代入する。
$L_0(0)=\frac{(-1)(-2)}{6}=\frac{1}{3}$
$L_1(0)=-\frac{(1)(-2)}{2}=1$
$L_2(0)=\frac{(1)(-1)}{3}=-\frac{1}{3}$
(和は $\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}=1$ で正しい。)

よって
$p(0)=5\cdot \frac{1}{3}+1\cdot 1+4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{3}+1-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$

検算：$p(x)=a{x}^2+bx+c$ とおくと、$a-b+c=5,a+b+c=1,4a+2b+c=4$。1 つ目と 2 つ目から $b=-2$、$a+c=3$。3 つ目に代入して $4a-4+c=4$ より $4a+c=8$。したがって $3a=5$、$a=\frac{5}{3}$、$c=\frac{4}{3}$。よって $p(0)=c=\frac{4}{3}$。一致する。