数値解析の問題

節点を $x_0=-1,x_1=1,x_2=2$ とおきます。これらは相異なる 3 点なので、3 点を通る次数 $2$ 以下の多項式はただ 1 つに定まり、ラグランジュの形で
$$p(x)=f(x_0)L_0(x)+f(x_1)L_1(x)+f(x_2)L_2(x)$$
と表せます。

手順 1: 基底多項式を作る。
$$L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{6}$$
$$L_1(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)}=-\frac{(x+1)(x-2)}{2}$$
$$L_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{(2+1)(2-1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{3}$$

手順 2: $x=3$ での値を計算する。
$$L_0(3)=\frac{2\cdot 1}{6}=\frac{1}{3},L_1(3)=-\frac{4\cdot 1}{2}=-2,L_2(3)=\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}$$
(確認: $L_0(3)+L_1(3)+L_2(3)=\frac{1}{3}-2+\frac{8}{3}=1$ となり、基底多項式の和が $1$ になる性質と合っています。)

手順 3: 重みをつけて足す。
$$p(3)=4\cdot \frac{1}{3}+2\cdot (-2)+7\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}-4+\frac{56}{3}=20-4=16$$

(検算: $p(x)=a{x}^2+bx+c$ とおくと $a-b+c=4,a+b+c=2,4a+2b+c=7$ より $a=2,b=-1,c=1$。$p(3)=18-3+1=16$ で一致します。)

よって $p(3)=16$ です。

ラグランジュ補間より $p(x)=\sum f(x_i)L_i(x)$。節点は $x_0=-1,x_1=1,x_2=2$。
$x=3$ での基底関数の値:
$L_0(3)=\frac{(3-1)(3-2)}{(-1-1)(-1-2)}=\frac{2\cdot 1}{(-2)(-3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$L_1(3)=\frac{(3+1)(3-2)}{(1+1)(1-2)}=\frac{4}{2\cdot (-1)}=-2$
$L_2(3)=\frac{(3+1)(3-1)}{(2+1)(2-1)}=\frac{8}{3}$
（和は $\frac{1}{3}-2+\frac{8}{3}=1$ で確認できる。）
よって $p(3)=4\cdot \frac{1}{3}+2\cdot (-2)+7\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}-4+\frac{56}{3}=20-4=16$。
検算：$p(x)=a{x}^2+bx+c$ とおくと、$a-b+c=4$, $a+b+c=2$, $4a+2b+c=7$。1式と2式から $b=-1$, $a+c=3$。3式から $4a-2+c=7$ なので $4a+c=9$。よって $3a=6$, $a=2$, $c=1$。$p(x)=2x^2-x+1$、$p(3)=18-3+1=16$。一致する。