数値解析の問題

$x_0=1,x_1=3,x_2=4$ とおく。

1. 0 次の差分商（関数値そのもの）
$$f[x_0]=2,f[x_1]=6,f[x_2]=3$$

2. 1 次の差分商
$$f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}=\frac{6-2}{3-1}=2$$
$$f[x_1,x_2]=\frac{f[x_2]-f[x_1]}{x_2-x_1}=\frac{3-6}{4-3}=-3$$

3. 2 次の差分商
$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{-3-2}{4-1}=-\frac{5}{3}$$

差分商の表は次のようになる。
$$\begin{array}{cccc}{x}_i& f[x_i]& 1\text{次}& 2\text{次}\\ 1& 2& & \\ & & 2& \\ 3& 6& & -\frac{5}{3}\\ & & -3& \\ 4& 3& & \end{array}$$

4. ニュートンの補間公式
表の上側の斜めの列（$2,2,-\frac{5}{3}$）を係数に使って
$$p(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)$$
$$=2+2(x-1)-\frac{5}{3}(x-1)(x-3)$$

5. $x=2$ を代入
$$p(2)=2+2\cdot 1-\frac{5}{3}\cdot 1\cdot (-1)=4+\frac{5}{3}=\frac{17}{3}$$

（確認）ラグランジュ補間で計算すると、$L_0(2)=\frac{(2-3)(2-4)}{(1-3)(1-4)}=\frac{1}{3}$、$L_1(2)=\frac{(2-1)(2-4)}{(3-1)(3-4)}=1$、$L_2(2)=\frac{(2-1)(2-3)}{(4-1)(4-3)}=-\frac{1}{3}$ より、$p(2)=2\cdot \frac{1}{3}+6\cdot 1+3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{17}{3}$ となり一致する。

よって $p(2)=\frac{17}{3}$。

節点は $x_0=1,x_1=3,x_2=4$ で、値は $f=2,6,3$ である。

1 階差分商:
$f[x_0,x_1]=\frac{6-2}{3-1}=2$
$f[x_1,x_2]=\frac{3-6}{4-3}=-3$

2 階差分商:
$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{-3-2}{4-1}=-\frac{5}{3}$

ニュートンの補間公式より
$p(x)=2+2(x-1)-\frac{5}{3}(x-1)(x-3)$

$x=2$ を代入すると
$p(2)=2+2\cdot 1-\frac{5}{3}\cdot 1\cdot (-1)=4+\frac{5}{3}=\frac{17}{3}$

検算として、ラグランジュ補間で求める。
$L_0(2)=\frac{(2-3)(2-4)}{(1-3)(1-4)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$L_1(2)=\frac{(2-1)(2-4)}{(3-1)(3-4)}=\frac{-2}{-2}=1$
$L_2(2)=\frac{(2-1)(2-3)}{(4-1)(4-3)}=-\frac{1}{3}$

よって $p(2)=2\cdot \frac{1}{3}+6\cdot 1+3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+6-1=\frac{17}{3}$ となり、一致する。