数値解析の問題

$x_0=-1,x_1=1,x_2=2,x_3=3$ とおく。

1 次の差分商
$$f[x_0,x_1]=\frac{0-2}{1-(-1)}=-1,f[x_1,x_2]=\frac{5-0}{2-1}=5,f[x_2,x_3]=\frac{20-5}{3-2}=15$$

2 次の差分商
$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{5-(-1)}{2-(-1)}=2$$
$$f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{15-5}{3-1}=5$$

3 次の差分商
$$f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{5-2}{3-(-1)}=\frac{3}{4}$$

ニュートンの補間公式
表の上の斜めの列（$f[x_0]=2$, $-1$, $2$, $\frac{3}{4}$）を係数に使うと、
$$p(x)=2-(x+1)+2(x+1)(x-1)+\frac{3}{4}(x+1)(x-1)(x-2)$$
となる。

$x=0$ を代入
$$p(0)=2-1+2\cdot 1\cdot (-1)+\frac{3}{4}\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-2)=2-1-2+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

（確認）$p(-1)=2$, $p(1)=2-2=0$, $p(2)=2-3+6=5$, $p(3)=2-4+16+6=20$ となり、4 点を通っている。

よって $p(0)=\frac{1}{2}$ である。

節点を $x_0=-1,x_1=1,x_2=2,x_3=3$ とし、差分商の表を作る。

1 階差分商:
$f[-1,1]=\frac{0-2}{1-(-1)}=-1$, $f[1,2]=\frac{5-0}{1}=5$, $f[2,3]=\frac{20-5}{1}=15$

2 階差分商:
$f[-1,1,2]=\frac{5-(-1)}{2-(-1)}=2$, $f[1,2,3]=\frac{15-5}{3-1}=5$

3 階差分商:
$f[-1,1,2,3]=\frac{5-2}{3-(-1)}=\frac{3}{4}$

ニュートンの補間公式より
$p(x)=2-(x+1)+2(x+1)(x-1)+\frac{3}{4}(x+1)(x-1)(x-2)$

$x=0$ を代入すると
$p(0)=2-1+2\cdot (1)(-1)+\frac{3}{4}\cdot (1)(-1)(-2)=2-1-2+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

検算: $p(1)=2-2=0$、$p(2)=2-3+6=5$、$p(3)=2-4+16+6=20$ となり、与えられた 4 点の値と一致する。

よって $p(0)=\frac{1}{2}$。