差分商とニュートンの補間公式

差分商 $f [x_{0}, x_{1}] = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$ などの表を作り、 $p (x) = f [x_{0}] + f [x_{0}, x_{1}] (x - x_{0}) + f [x_{0}, x_{1}, x_{2}] (x - x_{0}) (x - x_{1}) + \dots$ として補間多項式の値や最高次の係数を求められる

前提

ラグランジュ補間（大学数学数値解析）

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算数中学高校大学大学院

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ラグランジュ補間（大学数学数値解析）

説明

差分商とは、データ点での関数値から割り算を繰り返して作る量です。これを表にまとめると、相異なる $n + 1$ 点を通る次数 $n$ 以下の補間多項式を $p (x) = f [x_{0}] + f [x_{0}, x_{1}] (x - x_{0}) + \dots$ の形（ニュートン形）で書けます。この形からは、補間多項式の値や最高次（ $x^{n}$ ）の係数がすぐに読み取れます。点を 1 つ追加しても、それまでの計算をそのまま使い、末尾に 1 項を足すだけで済みます。そのため、ラグランジュ補間より手計算や逐次計算に向いています。

なぜそうしてよいのか

差分商は次のように順に定義します。 $f [x_{i}] = f (x_{i})$ とし、 $k \geq 1$ では $f [x_{i}, \dots, x_{i + k}] = \frac{f [ x _{i + 1} , \dots , x _{i + k} ] - f [ x _{i} , \dots , x _{i + k - 1} ]}{x _{i + k} - x _{i}}$ とします。分母は両端の点の差です。点は相異なるので、分母は 0 になりません。鍵になるのは次の事実です。「 $x_{0}, \dots, x_{k}$ を通る次数 $k$ 以下の補間多項式の $x^{k}$ の係数は $f [x_{0}, \dots, x_{k}]$ に等しい」（実際の次数が $k$ より低いときは、この係数が 0 になります）。

この事実を $k$ についての帰納法で示します。 $k = 0$ のとき、1 点を通る次数 0 以下の多項式は定数 $f (x_{0})$ なので成り立ちます。 $k - 1$ まで成り立つとします。 $r (x)$ を $x_{0}, \dots, x_{k - 1}$ を通る補間多項式、 $q (x)$ を $x_{1}, \dots, x_{k}$ を通る補間多項式（どちらも次数 $k - 1$ 以下）とし、 $P (x) = \frac{( x - x _{0} ) q ( x ) - ( x - x _{k} ) r ( x )}{x _{k} - x _{0}}$ とおきます。 $x = x_{0}$ を代入すると $P (x_{0}) = r (x_{0}) = f (x_{0})$ 、 $x = x_{k}$ を代入すると $P (x_{k}) = q (x_{k}) = f (x_{k})$ です。間の点 $x_{i}$ （ $0 < i < k$ ）では $q (x_{i}) = r (x_{i}) = f (x_{i})$ なので $P (x_{i}) = \frac{( x _{i} - x _{0} ) - ( x _{i} - x _{k} )}{x _{k} - x _{0}} f (x_{i}) = f (x_{i})$ となります。 $P$ は次数 $k$ 以下ですから、補間多項式の一意性により $P$ が求める補間多項式です。 $P$ の $x^{k}$ の係数は、帰納法の仮定から $\frac{f [ x _{1} , \dots , x _{k} ] - f [ x _{0} , \dots , x _{k - 1} ]}{x _{k} - x _{0}} = f [x_{0}, \dots, x_{k}]$ となります。

これを使ってニュートン形を導きます。 $p_{k}$ を $x_{0}, \dots, x_{k}$ を通る補間多項式とすると、 $p_{k} - p_{k - 1}$ は次数 $k$ 以下で、 $x_{0}, \dots, x_{k - 1}$ で 0 になります。因数定理より $p_{k} (x) - p_{k - 1} (x) = c (x - x_{0}) \dots (x - x_{k - 1})$ と書け、右辺の $x^{k}$ の係数 $c$ は $p_{k}$ の最高次係数、つまり $f [x_{0}, \dots, x_{k}]$ です。これを $k = 1, 2, \dots, n$ と積み重ねると、 $p (x) = f [x_{0}] + f [x_{0}, x_{1}] (x - x_{0}) + \dots + f [x_{0}, \dots, x_{n}] (x - x_{0}) \dots (x - x_{n - 1})$ が得られます。

手順

点 $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ （相異なる）を縦に並べ、その横に 0 次の差分商 $f [x_{i}] = f (x_{i})$ を書く。
隣り合う値から 1 次差分商 $f [x_{i}, x_{i + 1}] = \frac{f ( x _{i + 1} ) - f ( x _{i} )}{x _{i + 1} - x _{i}}$ を計算し、次の列に書く。
前の列の隣り合う 2 つの値の差を、両端の点の差で割って次の列を作る。 $f [x_{i}, \dots, x_{i + k}] = \frac{f [ x _{i + 1} , \dots , x _{i + k} ] - f [ x _{i} , \dots , x _{i + k - 1} ]}{x _{i + k} - x _{i}}$ 。これを 1 つの値になるまで繰り返す。
表の一番上の斜めの列 $f [x_{0}], f [x_{0}, x_{1}], \dots, f [x_{0}, \dots, x_{n}]$ を係数として取り出す。最後の値 $f [x_{0}, \dots, x_{n}]$ が $x^{n}$ の係数である。
$p (x) = f [x_{0}] + f [x_{0}, x_{1}] (x - x_{0}) + \dots + f [x_{0}, \dots, x_{n}] (x - x_{0}) \dots (x - x_{n - 1})$ を組み立て、求めたい点 $x = c$ を代入して $p (c)$ を計算する。

例題

$f (0) = 1, f (1) = 3, f (3) = 7, f (4) = 21$ を満たす次数 3 以下の補間多項式を $p (x)$ とする。差分商の表を作り、ニュートンの補間公式を用いて $p (2)$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $x_{0} = 0, x_{1} = 1, x_{2} = 3, x_{3} = 4$ とし、0 次の差分商を $1, 3, 7, 21$ と並べる。
【手順2】1 次差分商は $f [0, 1] = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2$ 、 $f [1, 3] = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$ 、 $f [3, 4] = \frac{21 - 7}{4 - 3} = 14$ 。
【手順3】2 次差分商は $f [0, 1, 3] = \frac{2 - 2}{3 - 0} = 0$ 、 $f [1, 3, 4] = \frac{14 - 2}{4 - 1} = 4$ 。3 次差分商は $f [0, 1, 3, 4] = \frac{4 - 0}{4 - 0} = 1$ 。
【手順4】一番上の斜めの列から、係数 $1, 2, 0, 1$ を取り出す。 $x^{3}$ の係数は $1$ である。
【手順5】 $p (x) = 1 + 2 x + 0 \cdot x (x - 1) + 1 \cdot x (x - 1) (x - 3)$ 。 $x = 2$ を代入すると $p (2) = 1 + 4 + 0 + 2 \cdot 1 \cdot (- 1) = 3$ 。
（確認：展開すると $p (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x + 1$ で、 $p (0) = 1, p (1) = 3, p (3) = 7, p (4) = 21$ を満たす。）

答え: $3$

よくある誤り

高次の差分商でも、隣の点どうしの差で割ってしまう誤り。正しくは両端の点の差で割る。例では $f [0, 1, 3] = \frac{2 - 2}{3 - 0}$ であり、分母を $3 - 1$ にしてはいけない。
表の一番上の斜めの列ではなく、下側の斜めの列（ $f [x_{3}], f [x_{2}, x_{3}], \dots$ ）を $(x - x_{0}), (x - x_{0}) (x - x_{1}), \dots$ の係数に使ってしまう誤り。正しくは $f [x_{0}], f [x_{0}, x_{1}], f [x_{0}, x_{1}, x_{2}], \dots$ を使う。下側の列を使うなら、掛ける積も $(x - x_{3}), (x - x_{3}) (x - x_{2}), \dots$ にしなければならない。
最後の項に最後の点の因子まで掛けて $f [x_{0}, \dots, x_{n}] (x - x_{0}) \dots (x - x_{n})$ としてしまう誤り。これでは次数が $n + 1$ になってしまう。正しくは $(x - x_{0}) \dots (x - x_{n - 1})$ までの $n$ 個の積である。
差分商の分子と分母で引く順序をそろえない誤り。例えば $\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{0} - x _{1}}$ とすると符号が逆になる。正しくは $\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{0} )}{x _{1} - x _{0}}$ のように、分子も分母も「後の点 − 前の点」にそろえる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

補間多項式の誤差（大学数学数値解析）