数値解析の問題

ニュートンの差分商を用いる。節点を $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=3$ とする。

1 階差分商:
$$f[x_0,x_1]=\frac{2-1}{1-0}=1,f[x_1,x_2]=\frac{8-2}{3-1}=3.$$
2 階差分商:
$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{3-1}{3-0}=\frac{2}{3}.$$

よってニュートン形式の補間多項式は
$$p(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)=1+x+\frac{2}{3}x(x-1).$$
$x=2$ を代入して
$$p(2)=1+2+\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}.$$

（検算: ラグランジュ形式では、基底多項式の $x=2$ での値が
$$L_0(2)=\frac{(2-1)(2-3)}{(0-1)(0-3)}=-\frac{1}{3},L_1(2)=\frac{(2-0)(2-3)}{(1-0)(1-3)}=1,L_2(2)=\frac{(2-0)(2-1)}{(3-0)(3-1)}=\frac{1}{3}$$
なので $p(2)=1\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+2\cdot 1+8\cdot \frac{1}{3}=\frac{13}{3}$ となり一致する。）

なお真の値は $f(2)=4$ で、誤差は $f(2)-p(2)=-\frac{1}{3}$ である。

ニュートンの分割差分で求める。$f[0,1]=\frac{2-1}{1-0}=1$、$f[1,3]=\frac{8-2}{3-1}=3$、$f[0,1,3]=\frac{3-1}{3-0}=\frac{2}{3}$。よって $p(x)=1+1\cdot (x-0)+\frac{2}{3}(x-0)(x-1)=1+x+\frac{2}{3}x(x-1)$。\n$p(2)=1+2+\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$。\n検算: $p(0)=1$、$p(1)=2$、$p(3)=1+3+\frac{2}{3}\cdot 6=8$ で与えられた値と一致する。整理すると $p(x)=\frac{2}{3}{x}^2+\frac{1}{3}x+1$ で $p(2)=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}+1=\frac{13}{3}$。