数値解析の問題

方針 補間点が $n+1=3$ 個なので、誤差の公式
$$f(x)-p(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}(x-0)(x-1)(x-3)$$
を使います（$\xi$ は $x$ と補間点を含む区間内のある実数）。

手順 1: $f^{\prime \prime \prime }$ を求める。
$f^{\prime }(x)=6x^2+2x$, $f^{\prime \prime }(x)=12x+2$, $f^{\prime \prime \prime }(x)=12$ です。$f^{\prime \prime \prime }$ は定数なので、$\xi$ がどこにあっても $f^{\prime \prime \prime }(\xi )=12$ となります。したがって
$$\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}=\frac{12}{6}=2$$
で、これは $f$ の最高次の係数 $2$ に一致します。

手順 2: 誤差を式で表す。
よって、すべての実数 $x$ で
$$f(x)-p(x)=2x(x-1)(x-3)$$
が成り立ちます。（実際、$f(x)-p(x)$ は $x^3$ の係数が $2$ の 3 次式で、$x=0,1,3$ で $0$ になるので、この形に限られます。）

手順 3: $x=2$ を代入する。
$$f(2)-p(2)=2\cdot 2\cdot (2-1)\cdot (2-3)=2\cdot 2\cdot 1\cdot (-1)=-4.$$
また $f(2)=2\cdot 8+4-5=15$ なので
$$p(2)=f(2)+4=15+4=19.$$

検算（ニュートンの補間公式） $f(0)=-5$, $f(1)=-2$, $f(3)=58$ より $f[0,1]=3$, $f[1,3]=\frac{58-(-2)}{2}=30$, $f[0,1,3]=\frac{30-3}{3}=9$。よって $p(x)=-5+3x+9x(x-1)$ で、$p(2)=-5+6+18=19$ となり一致します。

答え: $p(2)=19$

$f(0)=-5,f(1)=2+1-5=-2,f(3)=54+9-5=58$。

補間誤差の公式より、ある $\xi$ について $f(x)-p(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}x(x-1)(x-3)$。ここで $f^{\prime \prime \prime }(x)=12$ は定数なので、$\frac{12}{6}=2$ となり、$f(x)-p(x)=2x(x-1)(x-3)$ が厳密に成り立つ。

$x=2$ を代入すると、$f(2)-p(2)=2\cdot 2\cdot 1\cdot (-1)=-4$。$f(2)=16+4-5=15$ なので、$p(2)=15+4=19$。

検算（ニュートン補間）：$f[0,1]=\frac{-2-(-5)}{1}=3$、$f[1,3]=\frac{58-(-2)}{2}=30$、$f[0,1,3]=\frac{30-3}{3}=9$。したがって $p(x)=-5+3x+9x(x-1)$ となり、$p(2)=-5+6+18=19$。一致する。