補間多項式の誤差

誤差の公式 $f (x) - p (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i})$ や $f (x) - p (x) = f [x_{0}, \dots, x_{n}, x] \prod (x - x_{i})$ を使い、指定した点での補間誤差の値や上界を求められる（ $f$ が $n + 1$ 次多項式のときは最高次の係数と $\prod (x - x_{i})$ の積になる）

前提

差分商とニュートンの補間公式（大学数学数値解析）
テイラー展開（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）

説明

関数 $f$ を $n + 1$ 個の点 $x_{0}, \dots, x_{n}$ で補間した $n$ 次以下の多項式 $p$ が、補間点以外の点 $x$ で $f (x)$ からどれだけずれるかを表す公式を学びます。 $f$ が $n + 1$ 次多項式なら誤差の値をそのまま計算でき、 $sin x$ や $e^{x}$ のような関数なら誤差の上界（これ以上ずれないという保証）を求められます。数表の補間や、数値計算で補間点をどう選ぶかを判断する場面で使います。

なぜそうしてよいのか

補間点でない $x$ を 1 つ固定し、 $w (t) = \prod_{i = 0}^{n} (t - x_{i})$ とおきます。 $w (x) \neq = 0$ なので、定数 $K$ を $f (x) - p (x) = K w (x)$ となるように決められます。そこで $g (t) = f (t) - p (t) - K w (t)$ を考えると、 $g$ は $t = x_{0}, \dots, x_{n}$ と $t = x$ の合計 $n + 2$ 個の異なる点で 0 になります。 $f$ が $n + 1$ 回微分可能なら、隣り合う 2 つの零点の間に平均値の定理（両端の値が等しい場合）を使うと $g^{'}$ の零点が $n + 1$ 個見つかり、これを繰り返すと $g^{(n + 1)}$ の零点 $ξ$ が 1 つ見つかります。 $ξ$ は $x_{0}, \dots, x_{n}, x$ をすべて含む最小の区間の中にあります。

$p$ は $n$ 次以下なので $p^{(n + 1)} = 0$ 、 $w$ は最高次の係数 1 の $n + 1$ 次式なので $w^{(n + 1)} = (n + 1)!$ です。よって $0 = g^{(n + 1)} (ξ) = f^{(n + 1)} (ξ) - K (n + 1)!$ となり、 $K = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!}$ 、すなわち $f (x) - p (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} i = 0 \prod n (x - x_{i})$ が得られます（ $x$ が補間点なら両辺とも 0 で、そのまま成り立ちます）。 $ξ$ の具体的な値はわかりませんが、 $∣ f^{(n + 1)} ∣$ の最大値 $M$ で置き換えれば上界 $∣ f (x) - p (x) ∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ w (x) ∣$ になります。

差分商でも同じことが言えます。ニュートンの補間公式で $x$ を新しい補間点として追加すると、 $n + 1$ 次の補間多項式は $p (t) + f [x_{0}, \dots, x_{n}, x] w (t)$ となり、 $t = x$ で $f (x)$ に一致します。したがって $f (x) - p (x) = f [x_{0}, \dots, x_{n}, x] \prod (x - x_{i})$ です。特に $f$ が最高次の係数 $a$ の $n + 1$ 次多項式なら、 $f^{(n + 1)} = (n + 1)! a$ は定数なので、誤差はちょうど $a \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i})$ になります。

手順

補間点の個数から $n$ を決める（点が $n + 1$ 個なら $p$ は $n$ 次以下、誤差には $f^{(n + 1)}$ と $(n + 1)!$ が現れる）。
求めたい点 $x$ で $w (x) = \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i})$ を計算する（因子は補間点の個数と同じ $n + 1$ 個）。
$f$ が $n + 1$ 次多項式なら、最高次の係数 $a$ を読み取り、 $f (x) - p (x) = a w (x)$ として値を求める（ $f$ が $n$ 次以下なら誤差は 0）。
それ以外の $f$ では $f^{(n + 1)}$ を求め、 $x_{0}, \dots, x_{n}, x$ を含む最小の区間 $I$ での最大値 $M = max_{t \in I} ∣ f^{(n + 1)} (t) ∣$ を調べる。
上界 $∣ f (x) - p (x) ∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ w (x) ∣$ を計算する。

例題

$f (x) = 2 x^{3} - x + 5$ を 3 点 $x_{0} = - 1, x_{1} = 1, x_{2} = 2$ で補間した 2 次以下の多項式を $p (x)$ とする。 $f (\frac{1}{2}) - p (\frac{1}{2})$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: 補間点は 3 個なので $n = 2$ で、誤差には 3 次導関数と $3!$ が関わる。
手順 2: $w (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 2)$ より、 $w (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{8}$ 。
手順 3: $f$ は 3 次（ $= n + 1$ 次）多項式で最高次の係数は $a = 2$ 。 $f^{'''} (x) = 12 = 3! \cdot 2$ は定数なので、 $ξ$ によらず $f (x) - p (x) = \frac{12}{3 !} w (x) = 2 w (x)$ 。よって $f (\frac{1}{2}) - p (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{9}{8} = \frac{9}{4}$ 。
（確認: $p (x) = f (x) - 2 (x + 1) (x - 1) (x - 2) = 4 x^{2} + x + 1$ は 2 次式で、3 点で $f$ と一致する。 $f (\frac{1}{2}) = \frac{19}{4}$ 、 $p (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$ で、差は $\frac{9}{4}$ 。）

答え: $\frac{9}{4}$

よくある誤り

分母を $n!$ にしてしまう誤り。点が $n + 1$ 個なら正しくは $\frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!}$ 。例えば 3 点補間なら $\frac{f ^{'''} ( ξ )}{3 !}$ で、 $\frac{f ^{'''} ( ξ )}{2 !}$ ではない。
積 $\prod (x - x_{i})$ の因子を 1 つ落とす誤り。正しくはすべての補間点 $x_{0}, \dots, x_{n}$ について $n + 1$ 個の因子を掛ける。3 点 $- 1, 1, 2$ なら $(x + 1) (x - 1) (x - 2)$ 。
$n + 1$ 次多項式の場合に最高次の係数を掛け忘れ、誤差を $\prod (x - x_{i})$ としてしまう誤り。正しくは $a \prod (x - x_{i})$ で、 $f (x) = 2 x^{3} - x + 5$ なら $2 (x + 1) (x - 1) (x - 2)$ 。
上界を求めるとき $ξ = x$ と置いたり、補間点だけの区間で $∣ f^{(n + 1)} ∣$ の最大値をとったりする誤り。 $ξ$ は未知で、正しくは $x_{0}, \dots, x_{n}$ と $x$ をすべて含む区間全体での最大値 $M$ を使う。例えば $f = sin x$ の 2 点補間なら $∣ f^{''} ∣ \leq 1$ より $∣ f (x) - p (x) ∣ \leq \frac{1}{2} ∣ (x - x_{0}) (x - x_{1}) ∣$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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