数値解析の問題

補間誤差の公式

相異なる $n+1$ 点 $x_0,\dots ,x_n$ で $f$ を補間する次数 $n$ 以下の多項式を $p(x)$ とする。このとき、各 $x$ に対してある $\xi$ が存在して
$$f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$
が成り立つ。

ステップ 1：$n$ と節点を確認する

節点は $x_0=-1,x_1=0,x_2=2$ の 3 点である。したがって $n=2$ であり、公式には $3$ 階導関数 $f^{\prime \prime \prime }$ と $3!$ が現れる。

ステップ 2：$f^{\prime \prime \prime }$ を求める

$f^{\prime }(x)=6x^2+2x$、$f^{\prime \prime }(x)=12x+2$、$f^{\prime \prime \prime }(x)=12$ である。

$f^{\prime \prime \prime }$ は定数なので、$\xi$ がどこにあっても
$$\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}=\frac{12}{6}=2$$
となる。これは $f$ の最高次の係数 $2$ に一致する。

ステップ 3：積 $\prod (x-x_i)$ を $x=1$ で計算する
$$(1-(-1))(1-0)(1-2)=2\cdot 1\cdot (-1)=-2$$

ステップ 4：公式に代入する
$$f(1)-p(1)=2\times (-2)=-4$$

検算

$f(-1)=-6$、$f(0)=-5$、$f(2)=15$ である。$p(0)=-5$ なので、$p(x)=a{x}^2+bx-5$ とおく。

• $p(-1)=-6$ から $a-b=-1$
• $p(2)=15$ から $4a+2b=20$、すなわち $2a+b=10$

この 2 式を解くと $a=3,b=4$ である。よって $p(x)=3x^2+4x-5$ となり、$p(1)=2$ である。

一方 $f(1)=2+1-5=-2$ なので、$f(1)-p(1)=-2-2=-4$ となり、公式の結果と一致する。

答え：$-4$

補間誤差の公式より、$f(x)-p(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}(x+1)x(x-2)$。$f^{\prime \prime \prime }(x)=12$ は定数なので、$f^{\prime \prime \prime }(\xi )/3!=12/6=2$。よって $f(x)-p(x)=2(x+1)x(x-2)$ となり、$x=1$ では $2\cdot 2\cdot 1\cdot (-1)=-4$。

検算：$f(-1)=-2+1-5=-6$、$f(0)=-5$、$f(2)=16+4-5=15$、$f(1)=2+1-5=-2$。ニュートン補間で、$f[-1,0]=(-5+6)/1=1$、$f[0,2]=(15+5)/2=10$、$f[-1,0,2]=(10-1)/3=3$ なので $p(x)=-6+1\cdot (x+1)+3(x+1)x$。$p(1)=-6+2+3\cdot 2=2$。したがって $f(1)-p(1)=-2-2=-4$ となり、一致する。