テイラー展開

関数 $f(x)=e^{2x}$ のマクローリン展開を
$$e^{2x}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+\cdots$$
とする。ただし $x$ は実数である。$x^4$ の係数 $a_4$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=\log (1+x)$ $(x>-1)$ について、$x=0$ における 3 次のテイラー多項式（マクローリン多項式）
$$P_3(x)=\sum _{k=0}^3\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

関数 $f(x)=\log (1+2x)$ $\left(x>-\frac{1}{2}\right)$ のマクローリン展開
$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots$$
における $x^3$ の係数 $a_3$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

極限 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1-2x}{1-\cos x}$$ の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。

極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos x-2+x^2}{x^4}$$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。

$x$ は $x>-1$ かつ $x\ne 0$ を満たす実数とする。極限 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-\log (1+x)}{x^2}$$ の値を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で同じ分布に従い、
$$P(X_k=1)=\frac{1}{4},P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2}$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left(e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right)(t\text{ は実数})$$
とする。実数 $t$ を固定したときの極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。

確率変数 $X_1,X_2,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
をみたすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。$t$ を実数とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }E\left[e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right]$$
を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位とする。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
を満たすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left[\exp \left(it\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)\right](t\text{ は実数})$$
とする。$t$ を固定した実数とするとき、極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。

極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x-\sin x}$$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。

確率変数 $X$ はパラメータ $1$ のポアソン分布に従う。すなわち
$$P(X=k)=\frac{e^{-1}}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
である。確率変数 $Y=2^X$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{\sin z}{z^3(1-z)}$$
を、円環領域 $0<|z|<1$ でローラン展開し、
$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n{z}^n(0<|z|<1)$$
と表す。係数 $a_0$ の値を求めよ。

実数値確率変数 $X$ の特性関数が
$${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]=\frac{\cos t}{1+t^2}(t\in \mathbb{R})$$
で与えられているとする。$E[X^4]$ を求めよ。

面積 $A$ の平面内に $N$ 個の同種原子が並んだ 2 次元結晶を考える。原子は平面内の方向にだけ振動するとし、格子振動を 2 次元のデバイ模型で扱う。

• 振動の分枝は縦波 1 種類と横波 1 種類の計 2 種類である。どちらも音速は $v$ で、分散関係は $\omega =v|\mathbf{k}|$ とする。
• 周期的境界条件を課し、$N$ と $A$ は十分大きく、波数 $\mathbf{k}$ についての和は積分で置き換えてよい。
• 2 つの分枝に共通の切断角振動数（デバイ角振動数）${\omega }_D$ を設け、$0\le \omega \le {\omega }_D$ の振動モードの総数が $2N$ になるように ${\omega }_D$ を決める。
• 各振動モードは角振動数 $\omega$ の量子調和振動子とみなす。

換算プランク定数を $\hslash$、ボルツマン定数を $k_B$、絶対温度を $T$ とする。$k_{B}T\gg \hslash {\omega }_D$ の高温では、この結晶の格子比熱 $C$ は
$$C=2N{k}_B-\frac{\beta }{T^2}+O\left(T^{-4}\right)$$
と展開できる。定数 $\beta$ を $N,A,v,\hslash ,k_B$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とする。3 種類の文字 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を重複を許して $n$ 個並べてできる長さ $n$ の文字列のうち、$\mathrm{A}$ の個数が偶数（0 個を含む）であり、かつ $\mathrm{B}$ の個数が奇数であるものの個数を $w_n$ とする。$w_n$ を $n$ の式で求めよ。

極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\cos x{)}^{\frac{1}{{\sin }^{2}x}}-\frac{1}{\sqrt{e}}}{x^2}$$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0<|x|<\frac{\pi }{2}$ を満たす実数とする。

複素関数
$$f(z)=\frac{1}{z^3(1-\cos z)}$$
の $z=0$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=0}f(z)$ を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{e^{2z}}{z^2\sin z}$$
の $z=0$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=0}f(z)$ を求めよ。

$N$ 個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱を、デバイ模型で考える。振動モードの状態密度は
$$g(\omega )=\{\begin{array}{ll}\frac{9N{\omega }^2}{{\omega }_D^3}& (0\le \omega \le {\omega }_D)\\ 0& (\omega >{\omega }_D)\end{array}$$
で与えられ（${\omega }_D$ はデバイ角振動数）、各モードは独立な量子調和振動子として温度 $T$ で熱平衡にあるとする。デバイ温度を ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ とする（$\hslash$ は換算プランク定数、$k_B$ はボルツマン定数）。

高温 $T\gg {\Theta }_D$ では定積比熱 $C_V$（結晶全体の熱容量）はデュロン・プティの値 $3N{k}_B$ に近づく。このときのずれ $1-\frac{C_V}{3N{k}_B}$ を $\frac{{\Theta }_D}{T}$ について展開したときの最低次の項を、${\Theta }_D,T$ を用いて表せ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。規格化されたエネルギー固有状態を $|n⟩$、固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とし、消滅演算子 $\hat{a}$・生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ は $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$（$\hat{a}|0⟩=0$）、${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$ を満たすとする。振動子が、消滅演算子の固有値 $\sqrt{2}$ の規格化された固有状態 $|\alpha ⟩$
$$\hat{a}|\alpha ⟩=\sqrt{2}|\alpha ⟩,⟨\alpha |\alpha ⟩=1$$
にあるとき、エネルギーを測定して $\frac{5}{2}\hslash \omega$ が得られる確率を求めよ。

${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\epsilon }_k=1)=P({\epsilon }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、
$$Z=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\epsilon }_k}{3^k}$$
とおく（この級数は各標本点で絶対収束する）。$Z$ の特性関数 ${\phi }_Z(t)=E\left[e^{itZ}\right]$ を無限積で表し、それを用いて $4$ 次モーメント $E\left[Z^4\right]$ を求めよ。

SI 単位系を用いる。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、電気素量を $e$（$e>0$）、ボルツマン定数を $k_B$ とする。指数関数は $\exp$ で表す。

電子と 2 価の陽イオン（電荷 $2e$）からなる一様な電離プラズマがある。外から何も加えないとき、電子の数密度は $n_0$、イオンの数密度は $\frac{n_0}{2}$ で、プラズマは電気的に中性である。電子は温度 $T_e$、イオンは温度 $T_i=\frac{T_e}{4}$ の熱平衡にあり、静電ポテンシャル $\varphi$ の中で電子とイオンの数密度はそれぞれボルツマン分布
$$n_e=n_0\exp \left(\frac{e\varphi }{k_B{T}_e}\right),n_i=\frac{n_0}{2}\exp \left(-\frac{2e\varphi }{k_B{T}_i}\right)$$
に従うとする（$\varphi$ の基準は無限遠で $\varphi =0$）。

このプラズマの中の原点に点電荷 $Q$ を置き、十分時間がたって定常状態になった。プラズマパラメータ（デバイ球の中の粒子数）は 1 より十分大きく、電荷密度は連続的に扱えるものとする。また、原点の近くを除いて $|2e\varphi |\ll k_B{T}_i$ が成り立ち、ボルツマン因子は $\varphi$ について 1 次まで展開してよい。ポテンシャルは球対称で、$r\to 0$ で $\varphi (r)\to \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$、$r\to \infty$ で $\varphi \to 0$ を満たすとする。

電子だけで決まるデバイ長を
$${\lambda }_{De}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$$
とする。原点から距離 $r={\lambda }_{De}$ の点での $\varphi$ と、同じ点にプラズマがない場合の真空中のクーロンポテンシャル $\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\lambda }_{De}}$ との比
$$\frac{\varphi ({\lambda }_{De})}{\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\lambda }_{De}}}$$
を、$\exp$ を用いた正確な値で求めよ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T$ の黒体放射であり、振動数が $\nu$ と $\nu +d\nu$ の間にある光子のエネルギー密度は、プランクの法則により
$$u_{\nu }d\nu =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}d\nu$$
で与えられるとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は光速、$k_B$ はボルツマン定数である。必要なら積分 ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

電波望遠鏡で観測する、振動数が $0<\nu <{\nu }_1$ の低振動数の帯域を考える。${\nu }_1$ は $h{\nu }_1\ll k_{B}T$ を満たす正の定数である。CMB の全エネルギー密度のうち、振動数 $\nu <{\nu }_1$ の光子が担う割合 $f$ を、$h{\nu }_1/(k_{B}T)$ について最低次の項まで求め、$h$, ${\nu }_1$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。

$\alpha$ を $0<\alpha \le 1$ を満たす実数とする。初期値問題 $y^{\prime }=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$ に対し、刻み幅 $h>0$ の 2 段のルンゲ・クッタ法の 1 ステップを
$$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f(t_0+\alpha h,y_0+\alpha h{k}_1),$$
$$y_1=y_0+h\left\{\left(1-\frac{1}{2\alpha }\right)k_1+\frac{1}{2\alpha }{k}_2\right\}$$
で定める。$\lambda$, $y_0$, $t_0$ を実数とし、この方法を $f(t,y)=\lambda y$ の場合に適用する。厳密解を $y(t)$ とするとき、$\alpha$ の値によらず
$$|y(t_0+h)-y_1|\le \frac{(|\lambda |h{)}^3}{6}{e}^{|\lambda |h}|y_0|$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、初期値問題 $y^{\prime }=\lambda y$, $y(t_0)=y_0$ の解が $y(t)=y_0{e}^{\lambda (t-t_0)}$ であることと、テイラーの定理（ラグランジュの剰余項）は用いてよい。

質量 $m$ の電子が、電荷 $Ze$ の点状の原子核のつくるクーロンポテンシャル
$$V(r)=-\frac{Z\alpha \hslash c}{r}$$
の中を運動する水素様イオンを考える。電子はディラック方程式に従うとする。$\alpha$ は微細構造定数、$c$ は光速度、$\hslash$ は換算プランク定数である。原子核の質量は無限大とし、原子核の大きさ、超微細構造、量子電磁力学的補正（ラムシフトなど）はすべて無視する。エネルギー固有値は静止エネルギー $m{c}^2$ を含めたものとする。

準位 $2p_{3/2}$ と $2s_{1/2}$ のエネルギー差 $\Delta E=E(2p_{3/2})-E(2s_{1/2})$ を $Z\alpha$ で展開して
$$\Delta E=m{c}^2\left[a(Z\alpha {)}^4+b(Z\alpha {)}^6+O\left((Z\alpha {)}^8\right)\right]$$
と表す。有理数の定数 $a,b$ を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=y+t^2,y(0)=-1$$
を考え、$f(t,y)=y+t^2$ とおく。$0<c\leqq 1$ を満たす実数の定数 $c$ をパラメータにもつ 2 段の陽的ルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f(t_0+ch,y_0+ch{k}_1),\\ y_1& =y_0+h\left\{\left(1-\frac{1}{2c}\right)k_1+\frac{1}{2c}{k}_2\right\}\end{array}$$
で、$t_0=0$, $y_0=-1$ から刻み幅 $h>0$ の 1 ステップを進める。厳密解の値 $y(h)$ との差（局所誤差）$y(h)-y_1$ を $h$ の式とみる。

一般にこの方法の局所誤差は $O(h^3)$ であるが、この初期値問題のこの 1 ステップに限っては、ある $c$ の値で局所誤差が $O(h^4)$ となる。そのような $c$ の値を $c^{\ast }$ とし、$c=c^{\ast }$ のときの局所誤差を
$$y(h)-y_1=C{h}^4+O(h^5)(h\to 0)$$
と表す。$c^{\ast }$ と定数 $C$ をこの順に組 $(c^{\ast },C)$ で求めよ。

$a$ を正の実数とし、$\alpha =\frac{1}{\sqrt{a}}$ とする。実数の定数 $p,q,r$ を用いた割り算を含まない反復
$$x_{n+1}=x_n\left(p+qa{x}_n^2+r{a}^2{x}_n^4\right)(n=0,1,2,\dots )$$
を考える。この反復関数を $g(x)=x\left(p+qa{x}^2+r{a}^2{x}^4\right)$ とおく。$g(\alpha )=\alpha ,g^{\prime }(\alpha )=0,g^{\prime \prime }(\alpha )=0$ がすべて成り立つように $p,q,r$ を定める。これにより、$\alpha$ に十分近い初期値 $x_0$ から反復すると $x_n$ は $\alpha$ に 3 次以上で収束する。

このように定めた $p,q,r$ を用い、$x_0$ を $\alpha$ に十分近くとる。さらに、すべての $n$ について $x_n\ne \alpha$ であるとする。このとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^3}$$
を $a$ を用いて表せ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=2ty,y(1)=1$$
の厳密解を $y(t)$ とする。$f(t,y)=2ty$ とおき、刻み幅 $h>0$ として、次の 2 段の陽的ルンゲ・クッタ法で $t=1$ から $t=1+h$ まで 1 ステップ進める。
$$k_1=f(1,y(1)),k_2=f\left(1+\frac{2}{3}h,y(1)+\frac{2}{3}h{k}_1\right),y_1=y(1)+h\left(\frac{1}{4}{k}_1+\frac{3}{4}{k}_2\right)$$
このとき、局所誤差は $h\to 0$ で
$$y(1+h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})$$
の形に表される。ここで $p$ は正の整数、$C$ は $0$ でない実数の定数である。$p$ と $C$ をこの順に組 $(p,C)$ で求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{(n+1)2^n}$$
の値を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^6}\left(\cos x-\frac{1+a{x}^2}{1+b{x}^2}\right)$$
が有限の値に収束するとき、$L$ の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数で、$x$ は $1+b{x}^2\ne 0$ を満たす範囲（$0$ の十分近く）を動くものとする。

実ヒルベルト空間
$${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$
を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{n}=0,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}_n}{n}=0\right\}$$
で定め、$y=(y_n{)}_{n\ge 1}$ を $y_n=\frac{1}{2^n}$ とする。このとき
$$d^2=\underset{x\in M}{\inf }\Vert y-x{\Vert }^2$$
の値を求めよ。

質量 $m$ の原子 $N$ 個（$N\gg 1$）が、ばね定数 $K$ のばねで隣どうしつながれ、平衡位置の間隔 $a$ で直線上に並んだ 1 次元結晶（全長 $L=Na$）を考える。原子は鎖の方向（縦方向）にのみ振動し、周期境界条件を課す。この鎖の格子振動の分散関係は $\omega (k)=2\sqrt{\frac{K}{m}}\left|\sin \frac{ka}{2}\right|$ である。

この格子振動をデバイ模型で扱う。すなわち、分散関係を長波長極限の音速 $c$ を用いた $\omega =c|k|$ で置き換え、基準振動の総数が $N$ になるように波数の大きさに上限 $k_D$（デバイ波数）を設ける。各基準振動は角振動数 $\omega$ の量子調和振動子として扱い、フォノンはボース・アインシュタイン統計（化学ポテンシャル $0$）に従うとする。$\hslash$ はディラック定数、$k_B$ はボルツマン定数である。

温度 $T$ がデバイ温度 ${\Theta }_D=\frac{\hslash c{k}_D}{k_B}$ に比べて十分低い（$T\ll {\Theta }_D$）とき、この鎖の定積熱容量 $C$ を、温度 $T$ について最低次の項まで求め、$N,k_B,T,\hslash ,m,K$ を用いて表せ。必要なら次の積分を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$$

複素平面上の円 $C:|z|=1$ を反時計回りに 1 周する積分路とする。次の複素積分の値を求めよ。
$${\oint }_C\frac{z{e}^{1/z}}{2z-1}dz$$

実数の定数 $a,b$ は、極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^4}\left(\log (1+x)-\frac{x+a{x}^2}{1+bx}\right)$$
が有限の値として存在するように定められているとする。このとき $L$ の値を求めよ。

極限
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\cos x{)}^{1/x^2}-e^{-1/2}}{x^2}$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $h(y)=y+y^3$ は狭義単調増加で、実数全体から実数全体への全単射である。その逆関数を $g(x)$ とする（すなわち、すべての実数 $x$ に対して $g(x)+g(x{)}^3=x$ が成り立つ）。$g$ の $x=0$ における 7 階微分係数 $g^{(7)}(0)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+2y=\sin x(x>0)$$ を満たし、さらに $x\to +0$ のとき $y(x)$ がある有限の値に収束するとする。$y(\pi )$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$a_n=n{\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{1}{2}$ であることが知られている。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(a_n-\frac{1}{2}\right)$$
の値を求めよ。

確率変数 $N$ は平均 $2$ のポアソン分布に従い、$X_1,X_2,\dots$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ。さらに $N$ と $X_1,X_2,\dots$ は独立とする。
$$S=\sum _{i=1}^N{X}_i(\text{ただし }N=0\text{ のときは }S=0)$$
とおくとき、$E[S^3]$ を求めよ。

$N$ 個の原子からなる 3 次元の単体結晶の格子比熱（定積比熱）を、次の 2 つの模型で考える。ボルツマン定数を $k_B$、絶対温度を $T$ とする。

• アインシュタイン模型: $3N$ 個の独立な量子調和振動子がすべて同じ角振動数をもつとし、その特性温度（アインシュタイン温度）を ${\Theta }_E$ とする。
• デバイ模型: 格子振動の状態密度を $g(\omega )\propto {\omega }^2(0\le \omega \le {\omega }_D)$、${\int }_0^{{\omega }_D}g(\omega )d\omega =3N$ とし、デバイ温度を ${\Theta }_D=\hslash {\omega }_D/k_B$ とする。

高温（$T\gg {\Theta }_E$、$T\gg {\Theta }_D$）では、どちらの模型の比熱も $C=3N{k}_B\left[1-\alpha {\left(\frac{\Theta }{T}\right)}^2+\cdots \right]$（$\Theta$ はそれぞれの特性温度、$\alpha$ は模型ごとに決まる正の定数）の形に展開できる。2 つの模型の比熱が、$1/T^2$ の項まで一致するとき、比 $\frac{{\Theta }_E}{{\Theta }_D}$ を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{-n}\cos xdx$$ とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(I_n-\frac{1}{2}\right)$$ の値を求めよ。

電子（電荷 $-e$）と 1 価の陽イオン（電荷 $+e$）からなる一様なプラズマが熱平衡にあり、遠方での電子とイオンの数密度はどちらも $n_0$ である。ここで $e$ は電気素量である。電子の温度を $T_e$、イオンの温度を $T_i=\frac{T_e}{3}$ とする。SI 単位系を用い、${\epsilon }_0$ を真空の誘電率、$k_B$ をボルツマン定数とする。

このプラズマの中の原点に、点電荷 $Q$（$Q>0$）を固定して置いた。十分時間がたった後、電子とイオンはどちらも静電ポテンシャル $\varphi (\mathbf{r})$ の中でボルツマン分布
$$n_e=n_0\exp \left(\frac{e\varphi }{k_B{T}_e}\right),n_i=n_0\exp \left(-\frac{e\varphi }{k_B{T}_i}\right)$$
に従うとする。$|e\varphi |$ は $k_B{T}_e$ と $k_B{T}_i$ のどちらよりも十分小さいとして指数関数を 1 次まで展開し、$\varphi$ は無限遠で $0$、原点の近くでは $\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ に近づくとする。

電子のデバイ長を ${\lambda }_e=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$ と定義する。原点を中心とする半径 ${\lambda }_e$ の球の内部にある電荷の総量（点電荷 $Q$ と、プラズマに誘起された電荷の和）を $Q_{\mathrm{enc}}$ とするとき、比 $\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{Q}$ を正確な値で求めよ。ただし、答えに自然対数の底が現れる場合は $\exp (\cdot )$ を用いて表せ。

$x$ 軸に垂直な、十分に広い 2 枚の平板電極を $x=0$ と $x=d$ に置き、その間（$0<x<d$）を一様なプラズマで満たす。電極 $x=0$ の電位を ${\varphi }_0$（${\varphi }_0>0$）、電極 $x=d$ の電位を $0$ に保つ。電位 $\varphi$ は $x$ だけの関数である。

プラズマは次のようにふるまうものとする。
- イオン（電荷 $+e$）は動かず、その密度は一様に $n_0$ である
- 電子（電荷 $-e$）は温度 $T_e$ の熱平衡にあり、密度はボルツマン分布 $n_e(x)=n_0\exp \left(\frac{e\varphi (x)}{k_B{T}_e}\right)$ に従う
- $0\le x\le d$ のすべての点で $e|\varphi |\ll k_B{T}_e$ が成り立ち、$n_e$ は $\varphi$ について 1 次まで近似してよい

電子のデバイ長を ${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$ とし（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数）、電極間隔はデバイ長を用いて $d={\lambda }_D\log 3$ と表されるとする（$\log$ は自然対数）。

電極間のプラズマ中にある空間電荷の、電極の単位面積あたりの総量 $Q={\int }_0^d\rho (x)dx$（$\rho$ は電荷密度）を、${\epsilon }_0,{\varphi }_0,d$ を用いて求めよ（${\lambda }_D$ は答えに含めないこと）。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）を考える。晴れ上がり以後、CMB の光子は物質と相互作用せずに自由に伝わり、各光子の振動数は宇宙膨張によってスケール因子に反比例して変化するものとする。現在（赤方偏移 $z=0$）の CMB は温度 $T_0$ の黒体放射である。

温度 $T$ の黒体放射の、単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }(T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
である（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は光速）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

赤方偏移 $z$（$z\ge 0$）にある、宇宙膨張とともに動くガス雲を考える。このガス雲の静止系で測ったとき、その時刻の CMB の全エネルギー密度のうち、振動数が ${\nu }_c$ 未満の光子が担う割合を $F$ とする。$x_0=\frac{h{\nu }_c}{k_{\mathrm{B}}{T}_0}$ とおき、$\frac{x_0}{1+z}\ll 1$ であるとして、$F$ を $\frac{x_0}{1+z}$ のべきで展開したときの、最も低い次数の項とその次の項の和を、$x_0$, $z$ を用いて表せ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ を互いに独立で、いずれも区間 $[-1,1]$ 上の一様分布（確率密度関数が $-1\le x\le 1$ で $\frac{1}{2}$、それ以外で $0$）に従う確率変数とする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおく。このとき、すべての正の実数 $s$ に対して
$$P(S_n\ge s)\le \exp \left(-\frac{3s^2}{2n}\right)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- 期待値の線形性と、マルコフの不等式（確率 $1$ で $Y\ge 0$ を満たし期待値が有限な確率変数 $Y$ と $a>0$ に対して $P(Y\ge a)\le \frac{E[Y]}{a}$）
- 互いに独立な有界な確率変数 $Y_1,\dots ,Y_n$ に対して $E[Y_1{Y}_2\cdots Y_n]=E[Y_1]E[Y_2]\cdots E[Y_n]$ であること、および $X_1,\dots ,X_n$ が独立ならば、実数値関数 $g$ による $g(X_1),\dots ,g(X_n)$ も独立であること
- 指数関数のマクローリン展開 $e^u=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{u^k}{k!}$ $(u\in \mathbb{R})$

互いに相互作用しない異核 2 原子分子 $N$ 個からなる理想気体が、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子の回転運動だけに注目し、各分子を慣性モーメント $I$ の剛体回転子とみなす。回転のエネルギー準位は
$$E_l=\frac{{\hslash }^2}{2I}l(l+1)(l=0,1,2,\dots )$$
で、準位 $E_l$ の縮退度は $2l+1$ である。回転の特性温度を $\Theta =\frac{{\hslash }^2}{2I{k}_{\mathrm{B}}}$（$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数）とし、$x=\frac{\Theta }{T}$ とおく。回転以外の自由度（並進・振動・電子状態・核スピン）は考えない。

高温 $T\gg \Theta$（すなわち $x\ll 1$）で、回転による定積熱容量 $C_{\mathrm{rot}}$ が
$$C_{\mathrm{rot}}=N{k}_{\mathrm{B}}\left[1+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+O(x^4)\right]$$
と展開されるとき、係数 $a_3$ を既約分数で求めよ。