ラプラスの方法（ガウス型の極限）

$ϕ$ が $x_{0}$ で唯一の最小値をとり $ϕ^{''} (x_{0}) > 0$ のとき、 $x = x_{0} + \frac{t}{n}$ と置換して $ϕ$ のテイラー展開から $n (ϕ (x) - ϕ (x_{0})) \to \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} t^{2}$ 、たとえば $(1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} \to e^{- t^{2}}$ という各点極限と、 $(1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} \leq (1 + \frac{t ^{2}}{2})^{- 2}$ （ $n \geq 2$ ）のような優関数を見つけられる。そのうえでガウス型の積分 $\int_{- \infty}^{\infty} t^{2 k} e^{- c t^{2}} d t$ を計算し、 $g (x_{0}) \neq = 0$ なら $\int g (x) e^{- n ϕ (x)} d x \sim g (x_{0}) e^{- n ϕ (x_{0})} \frac{2 π}{n ϕ ^{''} ( x _{0} )}$ 、 $g$ が $x_{0}$ で 2 位の零をもつなら主要項が $n^{- 3/2}$ の order になること（例: $n^{3/2} \int \frac{1 - c o s x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} d x \to \frac{π}{4}$ ）を使って極限の値を求められる

前提

置換と優収束定理による積分の極限（大学院数学測度論・実解析）
ガウス積分（大学数学微分積分）
テイラー展開（大学数学微分積分）

この技能までの道筋（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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置換と優収束定理による積分の極限（大学院数学測度論・実解析）
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重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）

説明

ラプラスの方法は、 $n$ が大きいときの積分 $\int g (x) e^{- n ϕ (x)} d x$ の振る舞いを調べる道具です。 $e^{- n ϕ (x)}$ は $ϕ$ が最小になる点 $x_{0}$ のまわりの幅 $1/ n$ 程度の範囲にほとんどの重みが集まり、その形はガウス型 $e^{- c t^{2}}$ に近づきます。これを使うと、 $\int_{0}^{π} sin^{n} x d x$ や $\int \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}$ のような積分の主要項 $g (x_{0}) e^{- n ϕ (x_{0})} \frac{2 π}{n ϕ ^{''} ( x _{0} )}$ を求め、極限の値を計算できます。

なぜそうしてよいのか

$ϕ$ が $x_{0}$ で唯一の最小値をとり $ϕ^{'} (x_{0}) = 0$ , $ϕ^{''} (x_{0}) > 0$ とします。 $x_{0}$ の近くではテイラー展開（剰余項つき）により $ϕ (x) - ϕ (x_{0}) = \frac{ϕ ^{''} ( ξ )}{2} (x - x_{0})^{2}$ （ $ξ$ は $x_{0}$ と $x$ の間）です。そこで $x = x_{0} + \frac{t}{n}$ と置くと $n (ϕ (x) - ϕ (x_{0})) = \frac{ϕ ^{''} ( ξ )}{2} t^{2}$ となり、 $t$ を固定して $n \to \infty$ とすると $ξ \to x_{0}$ なので $\frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} t^{2}$ に収束します。幅を $1/ n$ に選ぶのは、2 次の項に $n$ を掛けたものがちょうど $n$ によらない大きさになるためです（ $1/ n$ だと $t^{2} / n \to 0$ となり形が消え、もっと広いと 0 に潰れます）。

したがって $d x = \frac{d t}{n}$ に注意すると
$n e^{n ϕ (x_{0})} \int g (x) e^{- n ϕ (x)} d x = \int g (x_{0} + \frac{t}{n}) e^{- n (ϕ (x) - ϕ (x_{0}))} d t$
で、被積分関数は各点で $g (x_{0}) e^{- \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} t^{2}}$ に収束します。 $n$ によらない可積分な優関数が見つかれば優収束定理で極限と積分を交換でき、ガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- c t^{2}} d t = π / c$ （ $x = c t$ の置換で $\int e^{- x^{2}} d x = π$ に帰着）を $c = \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2}$ で使って $g (x_{0}) \frac{2 π}{ϕ ^{''} ( x _{0} )}$ が得られます。

$g (x_{0}) = 0$ のときは上の極限が 0 になるだけなので、さらに細かく見ます。 $g$ が $x_{0}$ で 2 位の零をもつ（ $g (x) \approx \frac{g ^{''} ( x _{0} )}{2} (x - x_{0})^{2}$ ）なら $g (x_{0} + t / n) \approx \frac{g ^{''} ( x _{0} )}{2} \frac{t ^{2}}{n}$ なので、もう 1 つ $n$ を掛けた $n^{3/2} e^{n ϕ (x_{0})} \int g e^{- n ϕ} d x$ が $\frac{g ^{''} ( x _{0} )}{2} \int t^{2} e^{- c t^{2}} d t$ に収束します。ここで部分積分により $\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} e^{- c t^{2}} d t = \frac{1}{2 c} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- c t^{2}} d t = \frac{π}{2 c ^{3/2}}$ です。

手順

被積分関数を $g (x) e^{- n ϕ (x)}$ の形に書き、 $ϕ$ が唯一の最小値をとる点 $x_{0}$ と $ϕ (x_{0})$ , $ϕ^{''} (x_{0}) > 0$ を求める（例: $(1 + x^{2})^{- n} = e^{- n l o g (1 + x^{2})}$ なら $x_{0} = 0$ , $ϕ^{''} (0) = 2$ ）
$x = x_{0} + \frac{t}{n}$ と置換する。 $d x = \frac{d t}{n}$ なので、積分に $n e^{n ϕ (x_{0})}$ （ $g (x_{0}) = 0$ で 2 位の零なら $n^{3/2} e^{n ϕ (x_{0})}$ ）を掛けたものを考える。積分区間も $t$ の区間に直す
テイラー展開で各点極限を求める: $n (ϕ (x) - ϕ (x_{0})) \to \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} t^{2}$ 、 $g (x_{0} + t / n) \to g (x_{0})$ 。区間の指示関数も含めて被積分関数の各点極限を書く
$n$ によらない可積分な優関数を見つける（例: $ϕ^{''} \geq m > 0$ が使える範囲なら $e^{- \frac{m}{2} t^{2}}$ 、 $n \geq 2$ で $(1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} \leq (1 + \frac{t ^{2}}{2})^{- 2}$ など）。 $x_{0}$ から離れた部分も含めて全体を押さえる
優収束定理で極限と積分を交換し、ガウス型積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- c t^{2}} d t = \frac{π}{c}$ 、 $\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} e^{- c t^{2}} d t = \frac{π}{2 c ^{3/2}}$ を $c = \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2}$ で計算する

例題

極限 $n \to \infty lim n \int_{0}^{π} sin^{n} x d x$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $0 < x < π$ で $sin^{n} x = e^{- n ϕ (x)}$ , $ϕ (x) = - lo g sin x$ と書ける（端点 $x = 0, π$ は測度 0 なので積分に影響しない）。 $sin x$ は $x_{0} = \frac{π}{2}$ で唯一の最大値 1 をとるので、 $ϕ$ は $x_{0} = \frac{π}{2}$ で唯一の最小値 $ϕ (x_{0}) = 0$ をとる。 $ϕ^{'} (x) = - \frac{c o s x}{s i n x}$ , $ϕ^{''} (x) = \frac{1}{s i n ^{2} x}$ より $ϕ^{''} (\frac{π}{2}) = 1 > 0$ 。

手順 2: $x = \frac{π}{2} + \frac{t}{n}$ と置くと $sin x = cos \frac{t}{n}$ , $d x = \frac{d t}{n}$ , $x \in [0, π] ⟺ ∣ t ∣ \leq \frac{π n}{2}$ なので
$n \int_{0}^{π} sin^{n} x d x = \int_{- \infty}^{\infty} cos^{n} (\frac{t}{n}) 1_{{∣ t ∣ \leq π n /2}} (t) d t .$

手順 3: $t$ を固定すると、十分大きい $n$ で $∣ t ∣ \leq \frac{π n}{2}$ であり、 $lo g cos u = - \frac{u ^{2}}{2} + o (u^{2})$ （ $u \to 0$ ）から $n lo g cos \frac{t}{n} \to - \frac{t ^{2}}{2}$ 。よって被積分関数は各点で $e^{- t^{2} /2}$ に収束する（これは $\frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} t^{2} = \frac{t ^{2}}{2}$ と一致する）。

手順 4: $h (u) = lo g cos u + \frac{u ^{2}}{2}$ （ $∣ u ∣ < \frac{π}{2}$ ）とおくと $h (0) = h^{'} (0) = 0$ , $h^{''} (u) = 1 - \frac{1}{c o s ^{2} u} \leq 0$ なので $h$ は上に凸で、 $u = 0$ での接線 $y = 0$ より下にある。すなわち $h (u) \leq 0$ 、 $0 \leq cos u \leq e^{- u^{2} /2}$ （ $∣ u ∣ \leq \frac{π}{2}$ 、端点でも成り立つ）。 $u = \frac{t}{n}$ として $n$ 乗すると、 $∣ t ∣ \leq \frac{π n}{2}$ で $0 \leq cos^{n} \frac{t}{n} \leq e^{- t^{2} /2}$ 。それ以外の $t$ では被積分関数は 0 なので、 $n$ によらない可積分な優関数 $e^{- t^{2} /2}$ が得られる。

手順 5: 優収束定理より
$n \to \infty lim n \int_{0}^{π} sin^{n} x d x = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2} /2} d t = \frac{π}{1/2} = 2 π .$
これは公式 $g (x_{0}) e^{- n ϕ (x_{0})} \frac{2 π}{n ϕ ^{''} ( x _{0} )} = \frac{2 π}{n}$ （ $g = 1$ ）とも一致する。

答え: $2 π$

よくある誤り

置換の幅を $x = x_{0} + \frac{t}{n}$ としてしまう誤り。このとき $n (ϕ (x) - ϕ (x_{0})) \approx \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} \frac{t ^{2}}{n} \to 0$ となり極限の形が消える。正しくは 2 次の項に釣り合う $x = x_{0} + \frac{t}{n}$ で、 $d x = \frac{d t}{n}$ から掛けるべき因子は $n$ （ $n$ ではない）
ガウス型積分の定数を取り違える誤り。たとえば $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} t^{2}} d t$ を $\frac{π}{ϕ ^{''} ( x _{0} )}$ としてしまう。正しくは $c = \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2}$ で $\frac{π}{c} = \frac{2 π}{ϕ ^{''} ( x _{0} )}$ 。同様に $\int t^{2} e^{- c t^{2}} d t = \frac{π}{2 c ^{3/2}}$ の $\frac{1}{2}$ を落とさない
各点極限だけ求めて、優関数を確かめずに極限と積分を交換してしまう誤り。正しくは $(1 + \frac{t ^{2}}{n})^{- n} \leq (1 + \frac{t ^{2}}{2})^{- 2}$ （ $n \geq 2$ ）や $cos^{n} \frac{t}{n} \leq e^{- t^{2} /2}$ のように、 $x_{0}$ から離れた部分まで含めて $n$ によらない可積分な関数で押さえてから優収束定理を使う
$g (x_{0}) = 0$ のときも $n$ 倍で考え、極限が 0 だから主要項も $2 π / (n ϕ^{''}) g (x_{0})$ の形で済むとしてしまう誤り。 $g$ が 2 位の零をもつなら主要項は $n^{- 3/2}$ の order で、正しくは $n^{3/2} e^{n ϕ (x_{0})} \int g e^{- n ϕ} d x \to \frac{g ^{''} ( x _{0} )}{2} \int t^{2} e^{- \frac{ϕ ^{''} ( x _{0} )}{2} t^{2}} d t$ を計算する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ とする。正の整数 $n$ に対し
$I_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e ^{- x^{2}}}{cosh ^{n} ( 2 x )} d x$
とおく（積分は $R$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限
$n \to \infty lim n I_{n}$
を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

スターリングの公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
鞍点法による係数の漸近形（大学院数学特殊関数・漸近解析）
クラマースの脱出率（大学院物理非平衡統計力学）