測度論・実解析の問題

変数変換. $x=\frac{t}{\sqrt{n}}$ とおくと $dx=\frac{dt}{\sqrt{n}}$、$x^4=\frac{t^4}{n^2}$ なので
$$n^{5/2}{B}_n={\int }_0^{\pi \sqrt{n}/2}{t}^4{\cos }^n\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)dt={\int }_0^{\infty }{f}_n(t)dt,$$
ただし $f_n(t)=t^4{\cos }^n\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)1_{[0,\pi \sqrt{n}/2]}(t)$。

各点収束. $t\ge 0$ を固定すると、$n$ が十分大きければ $t<\pi \sqrt{n}/2$ で、$\log \cos u=-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$ $(u\to 0)$ より
$$n\log \cos \frac{t}{\sqrt{n}}=n\left(-\frac{t^2}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\to -\frac{t^2}{2}.$$
よって $f_n(t)\to t^4{e}^{-t^2/2}$ $(n\to \infty )$。

優関数. $0\le u<\frac{\pi }{2}$ で $g(u)=\log \cos u+\frac{u^2}{2}$ とおくと $g(0)=0$、$g^{\prime }(u)=u-\tan u\le 0$（$\tan u\ge u$）なので $g(u)\le 0$、すなわち $0<\cos u\le e^{-u^2/2}$。したがって $0\le t<\pi \sqrt{n}/2$ で
$$0\le f_n(t)\le t^4{\left(e^{-t^2/(2n)}\right)}^n=t^4{e}^{-t^2/2},$$
それ以外では $f_n(t)=0$ なので、すべての $n$ で $0\le f_n\le t^4{e}^{-t^2/2}$。右辺は $(0,\infty )$ 上可積分である。

ルベーグの収束定理. 以上より
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{5/2}{B}_n={\int }_0^{\infty }{t}^4{e}^{-t^2/2}dt.$$
部分積分を $2$ 回行うと（${\left(-e^{-t^2/2}\right)}^{\prime }=t{e}^{-t^2/2}$ を使う）
$${\int }_0^{\infty }{t}^4{e}^{-t^2/2}dt=[-t^3{e}^{-t^2/2}{]}_0^{\infty }+3{\int }_0^{\infty }{t}^2{e}^{-t^2/2}dt=3\left([-t{e}^{-t^2/2}{]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt\right)=3\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$
ここで ${\int }_0^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{2}$ を用いた。

よって求める極限は $3\sqrt{\frac{\pi }{2}}=\frac{3\sqrt{2\pi }}{2}$。

$x=t/\sqrt{n}$ と置換すると $n^{5/2}{B}_n={\int }_0^{\pi \sqrt{n}/2}{t}^4{\cos }^n(t/\sqrt{n})dt$。被積分関数を $f_n(t)=t^4{\cos }^n(t/\sqrt{n})1_{[0,\pi \sqrt{n}/2)}(t)$ とおく。

(1) 各点収束: $\log \cos (u)=-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$ より $n\log \cos (t/\sqrt{n})\to -t^2/2$。よって $f_n(t)\to t^4{e}^{-t^2/2}$。

(2) 優関数: $0\le u\le \pi /2$ で $\cos u\le e^{-u^2/2}$ ではないが、$\cos u\le e^{-2u^2/{\pi }^2}$ が成り立つ（$\log \cos u$ は $u\in [0,\pi /2)$ で $-\frac{2u^2}{{\pi }^2}$ 以下。実際 $\cos u\le 1-\frac{2u^2}{{\pi }^2}$ は $\cos$ の凹性・$\cos (\pi /2)=0$ から従い、$1-s\le e^{-s}$ を用いる）。よって $0\le f_n(t)\le t^4{e}^{-2t^2/{\pi }^2}$ で、右辺は $(0,\infty )$ 上可積分。

優収束定理により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{5/2}{B}_n={\int }_0^{\infty }{t}^4{e}^{-t^2/2}dt.$$
${\int }_0^{\infty }{t}^4{e}^{-a{t}^2}dt=\frac{3\sqrt{\pi }}{8a^{5/2}}$ に $a=\frac{1}{2}$ を代入して $\frac{3\sqrt{\pi }}{8}\cdot 2^{5/2}=\frac{3\sqrt{\pi }\cdot 4\sqrt{2}}{8}=\frac{3\sqrt{2\pi }}{2}$。

検算: ${\int }_{-\infty }^{\infty }{t}^4{e}^{-t^2/2}dt=3\sqrt{2\pi }$（標準正規分布の4次モーメントが3）であり、その半分が $\frac{3\sqrt{2\pi }}{2}$ で一致する。