測度論・実解析

区間 $(0,1]$ 上のルベーグ測度 $\lambda$ を考える。関数 $f:(0,1]\to \mathbb{R}$ を、正の整数 $n$ に対して
$$f(x)=n\left(2^{-n}<x\le 2^{-n+1}\right)$$
で定める。ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1]}fd\lambda$$
の値を求めよ。

区間 $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度 $\lambda$ を考える。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。関数 $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\lfloor x\rfloor }& (x\text{が無理数のとき})\\ 1& (x\text{が有理数のとき})\end{array}$$
で定める。ルベーグ積分 $${\int }_{[0,\infty )}fd\lambda$$ の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を $\lambda$ とする。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\lfloor {\log }_3\frac{1}{x}\rfloor$$
で定めるとき、ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1)}fd\lambda$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{nx}{1+nx}x{e}^{-2x}dx$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^1{x}^2{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}dx$$
とおく（積分は区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}x{e}^{-3x}dx$$
とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

自然数全体 $\{1,2,3,\dots \}$ 上の数え上げ測度を考える（すなわち数列空間 ${\ell }^p$ を考える）。実数列 $(a_k{)}_{k\ge 1}$ で
$$\sum _{k=1}^{\infty }|a_k{|}^3=1$$
を満たすもの全体を考える。このとき
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{a_k}{4^k}$$
の最大値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx<\infty ,{\int }_0^{1}xf(x)dx=1$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
$$m=\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }{\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx$$
は存在する。$m$ の値を求めよ。

正の整数全体の集合 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ 上の数え上げ測度を考える（この測度に関する $L^p$ ノルムは $\Vert a{\Vert }_p={\left({\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n{|}^p\right)}^{1/p}$ である）。実数列 $a=(a_n{)}_{n\ge 1}$ で
$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^4=1$$
を満たすもの全体を考える。このとき級数
$$S(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{8^n}$$
は絶対収束する。$S(a)$ の最大値を求めよ。

$(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx$$
の値を求めよ。ただし、$(0,\infty )\times [1,2]$ 上の関数 $f(x,t)=e^{-tx}$ を考え、フビニ・トネリの定理を用いて積分の順序を交換せよ。

次の累次積分の値を求めよ。$$I={\int }_0^{\infty }\left({\int }_x^{\infty }\frac{e^{-y}}{y}dy\right)dx$$ ここで積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するものとし、値が $+\infty$ になる場合も含めて考える。

${\mathbb{R}}^2$ 上のルベーグ測度を ${\lambda }_2$ とし、
$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0\le x\le 1,\sqrt{x}\le y\le 1\}$$
とおく。$D$ 上の関数 $f(x,y)=e^{y^3}$ について、
$$I={\int }_D{e}^{y^3}d{\lambda }_2(x,y)={\int }_0^1\left({\int }_{\sqrt{x}}^1{e}^{y^3}dy\right)dx$$
の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{-\log x}{1-x^2}dx$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し
$$a_n=n^3{\int }_0^1\frac{x^2(1-x{)}^n}{1+x}dx$$
とおく（積分は区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{x^2-1}{\log x}dx$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

閉区間 $C_0=[0,1]$ から始めて、閉集合の列 $C_0\supset C_1\supset C_2\supset \cdots$ を次のように作る。正の整数 $k$ に対し、$C_{k-1}$ は互いに交わらない $2^{k-1}$ 個の閉区間の和集合であり、そのそれぞれの閉区間から、中点を中心とする長さ $\frac{1}{5^k}$ の開区間を取り除いたものを $C_k$ とする（このとき取り除く開区間はいつも元の閉区間の内部に収まり、$C_k$ は $2^k$ 個の閉区間の和集合になる）。
$$C=\bigcap _{k=0}^{\infty }{C}_k$$
とおくとき、$C$ のルベーグ測度 $\lambda (C)$ を求めよ。

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とする。正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{-x^2}}{{\cosh }^n(2x)}dx$$
とおく（積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n$$
を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$a_n=n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$$
とおく（積分は区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=e$ であることが知られている。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n(a_n-e)$$
を求めよ。

$(X,\mathcal{F},\mu )$ を測度空間とし、$f:X\to \mathbb{R}$ を可測関数とする。$f$ の分布関数が、すべての実数 $t\ge 0$ に対して
$$\mu (\{x\in X:|f(x)|>t\})=\frac{1}{(1+t{)}^4}$$
を満たすとする。このとき ${\int }_X|f{|}^{2}d\mu$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$K_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^2\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)}{x^2(1+x^2)}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{K}_n$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$L_n={\int }_0^{\infty }n\log \left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-2x}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$ の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,1)\to [0,\infty )$ で
$${\int }_0^{1}xf(x{)}^{3}dx=1$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
$$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_0^{1}f(x)dx$$
の値を求めよ。

関数 $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ x^2& (0\le x<1)\\ 2x+1& (1\le x<2)\\ 8& (x\ge 2)\end{array}$$
で定める。$F$ は単調非減少かつ右連続であるから、$\mathbb{R}$ のボレル集合族上の測度 $\mu$ で、すべての $a<b$ に対して $\mu ((a,b])=F(b)-F(a)$ を満たすものがただ 1 つ存在する（ルベーグ・スティルチェス測度）。
集合
$$E=\left[\frac{1}{2},2\right)\cup \left([2,3]\setminus \mathbb{Q}\right)$$
に対し、$\mu (E)$ の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{x^2\left(x^2-1\right)}{\log x}dx$$
の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,\infty )\to [0,\infty )$ で $${\int }_0^{\infty }f(x{)}^{3}dx=1$$ を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。 $$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_0^{\infty }f(x)e^{-x}dx$$ の値を求めよ。

$x>0$ に対して $$\frac{e^{-x}\sin x}{x}={\int }_1^{\infty }{e}^{-tx}\sin xdt$$ が成り立つことを用いて、ルベーグ積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}\sin x}{x}dx$$ の値を求めよ（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\arctan (3x)-\arctan x}{x}dx$$
の値を求めよ。ただし $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数とする。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ をルベーグ可測関数で ${\int }_{\mathbb{R}}|f(t)|dt<\infty$ を満たすものとする（積分はルベーグ測度に関するもの）。このとき、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(nx)=0$$
が成り立つ（ただし $n$ は正の整数を動く）ことを証明せよ。

なお、次の事実は用いてよい。
- 正の整数 $n$ と非負可測関数 $g$ に対して $x\mapsto g(nx)$ は可測で、${\int }_{\mathbb{R}}g(nx)dx=\frac{1}{n}{\int }_{\mathbb{R}}g(t)dt$ が成り立つ（値 $\infty$ も許す）。$x\mapsto f(-x)$ も可測で $\int |f(-x)|dx=\int |f(t)|dt$ である。
- 単調収束定理（非負可測関数の級数の積分と和の交換を含む）。
- 非負可測関数 $h$ が ${\int }_{A}h<\infty$ を満たせば、$A$ 上ほとんどいたるところ $h<\infty$ である。

$\lambda$ を $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度とし、$f\in L^1((0,\infty ),\lambda )$（実数値）とする。$x>0$ に対して
$$F(x)={\int }_0^{\infty }\frac{f(t)}{t}{e}^{-x/t}dt$$
と定める。各 $x>0$ でこの積分が存在し、$F\in L^1((0,\infty ),\lambda )$ であって
$${\int }_0^{\infty }F(x)dx={\int }_0^{\infty }f(t)dt$$
が成り立つことを証明せよ。

なお、$(0,\infty )\times (0,\infty )$ 上の（完備化した）積測度 $\lambda \otimes \lambda$ に対するフビニの定理・トネリの定理は用いてよい。

${\mathbb{R}}^2$ 上のルベーグ測度を ${\lambda }_2$ とする。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。集合
$$E=\left\{(x,y)\in (0,1{)}^2|\lfloor \frac{x}{y}\rfloor +\lfloor \frac{y}{x}\rfloor \text{ は }3\text{ の倍数}\right\}$$
の測度 ${\lambda }_2(E)$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^3}{x^3}\left(\frac{x}{n}-\sin \frac{x}{n}\right)\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}{\sin }^{2}x}{x}dx$$ の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ のボレル集合族上の測度 $\mu$ を
$$\mu (A)=\lambda (A\cap (0,1))+\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}{\delta }_{1/n}(A)$$
で定める。ここで $\lambda$ はルベーグ測度、${\delta }_a$ は点 $a$ におけるディラック測度（$a\in A$ なら ${\delta }_a(A)=1$、そうでなければ $0$）である。集合
$$E=\left\{x\in (0,1)|\lfloor \frac{1}{x}\rfloor \text{ は偶数}\right\}$$
に対し、$\mu (E)$ の値を求めよ。ただし $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数を表す。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{\arctan x}{x\sqrt{1-x^2}}dx$$
の値を求めよ。ただし $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数とし、$\log$ は自然対数とする。

$n$ を正の整数とし、
$$I_n={\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n{x}^2{e}^{x/3}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し $$A_n={\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^n}dx$$ とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f$ で ${\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx<\infty$ かつ $${\int }_0^{\infty }f(x)e^{-x}dx=1$$ を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とする。$$m=\underset{f\in \mathcal{A}}{\inf }{\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$B_n={\int }_0^{\pi /2}{x}^4{\cos }^{n}xdx$$
とおく（積分は区間 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{5/2}{B}_n$$
の値を求めよ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(\frac{\log \left(1+n^x\right)}{\log n}\right)}^2\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するもの、$\log$ は自然対数）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^{\infty }f(x{)}^{2}dx=3,{\int }_0^{\infty }f(x{)}^{4}dx=12$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、
$$J(f)={\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx$$
のとりうる値の範囲を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^1|f(x)|dx=1,{\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx=8$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、
$$J(f)={\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx$$
のとりうる値の範囲を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$J_n={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1-\cos x}{(1+x^2{)}^n}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{3/2}{J}_n$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$a_n=n{\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{1}{2}$ であることが知られている。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(a_n-\frac{1}{2}\right)$$
の値を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{-n}\cos xdx$$ とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(I_n-\frac{1}{2}\right)$$ の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分 $$I={\int }_0^{\infty }{\left(\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}\right)}^{2}dx$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し $$A_n={\int }_0^{1}n\left(1-x^{1/n}\right)\frac{1+x}{1-x}dx$$ とおく（積分は区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,1)\to (0,\infty )$ で $${\int }_0^{1}f(x{)}^{3}dx<\infty ,{\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx<\infty$$ を満たすもの全体を $\mathcal{G}$ とする。$$m=\underset{f\in \mathcal{G}}{\inf }\left({\int }_0^{1}f(x{)}^{3}dx\right){\left({\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx\right)}^3$$ の値を求めよ。

$C\subset [0,1]$ を、閉区間 $[0,1]$ から中央の開区間 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ を取り除き、残った各閉区間からさらにその中央の長さ $\frac{1}{3}$ 倍の開区間を取り除く、という操作を無限に繰り返して得られるカントール集合（三進カントール集合）とする。集合 $$E=\left\{x+\frac{y}{9}|x\in C,y\in C\right\}\subset \mathbb{R}$$ のルベーグ測度 $\lambda (E)$ を求めよ。