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測度論・実解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学測度論・実解析

正の整数 $n$ に対し
$K_{n} = \int_{0}^{\infty} \frac{n ^{2} ( 1 - cos \frac{x}{n} )}{x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} d x$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $n \to \infty lim K_{n}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

単調収束定理・優収束定理（説明と入口の問題）
漸近展開と極限（説明と入口の問題）
微分を使った不等式の証明（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$n \to \infty$ のとき $\frac{x}{n} \to 0$ 。 $1 - cos s$ の $s = 0$ での振る舞いから、被積分関数の各点極限を求める。

ヒント 2

不等式 $0 \leq 1 - cos s \leq \frac{s ^{2}}{2}$ を使うと、 $n$ によらない可積分な優関数が得られる。

ヒント 3

優収束定理により、極限は $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{2 ( 1 + x ^{2} )}$ になる。

答えと解説

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\frac{π}{4}

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解説を読む

被積分関数を $f_{n} (x)$ とおく（ $x > 0$ ）。

各点収束. $1 - cos s = \frac{s ^{2}}{2} + O (s^{4})$ （ $s \to 0$ ）より、各 $x > 0$ で
$n^{2} (1 - cos \frac{x}{n}) \to \frac{x ^{2}}{2} (n \to \infty),$
よって $f_{n} (x) \to \frac{1}{2 ( 1 + x ^{2} )}$ 。

優関数. すべての実数 $s$ で $0 \leq 1 - cos s \leq \frac{s ^{2}}{2}$ （ $g (s) = \frac{s ^{2}}{2} - 1 + cos s$ は $g (0) = 0$ 、 $g^{'} (s) = s - sin s$ が $s > 0$ で正、偶関数）。よって
$0 \leq f_{n} (x) \leq \frac{n ^{2}}{x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} \cdot \frac{x ^{2}}{2 n ^{2}} = \frac{1}{2 ( 1 + x ^{2} )},$
右辺は $(0, \infty)$ で可積分。

極限. ルベーグの優収束定理より
$n \to \infty lim K_{n} = \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{2 ( 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} .$

別解

$x = n t$ と置換すると $d x = n d t$ で
$K_{n} = \int_{0}^{\infty} \frac{n ^{2} ( 1 - cos t )}{n ^{2} t ^{2} ( 1 + n ^{2} t ^{2} )} n d t = \int_{0}^{\infty} \frac{1 - cos t}{t ^{2}} \cdot \frac{n}{1 + n ^{2} t ^{2}} d t .$

$ϕ (t) = \frac{1 - c o s t}{t ^{2}}$ は $[0, \infty)$ で連続かつ有界（ $0 \leq ϕ \leq \frac{1}{2}$ ）、 $ϕ (0) = \frac{1}{2}$ 。 $\int_{0}^{\infty} \frac{n}{1 + n ^{2} t ^{2}} d t = \frac{π}{2}$ で、 $\frac{n}{1 + n ^{2} t ^{2}}$ は $n \to \infty$ で $t = 0$ に集中する。

厳密に: $s = n t$ と戻して $K_{n} = \int_{0}^{\infty} ϕ (s / n) \frac{d s}{1 + s ^{2}}$ 。 $0 \leq ϕ \leq \frac{1}{2}$ 、 $ϕ (s / n) \to \frac{1}{2}$ で $\frac{1}{1 + s ^{2}}$ は可積分なので優収束定理より
$lim K_{n} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{d s}{1 + s ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} .$

検算: $1 - cos u \leq u^{2} /2$ より $K_{n} \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}$ で、 $n \to \infty$ でこの上界に近づく。整合。

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