漸近展開と極限

テイラー展開とランダウの記号 $o (x^{n})$ を使って不定形の極限を求められる

前提

テイラー展開（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）

説明

$x \to 0$ で $\frac{0}{0}$ 型になる極限を、関数をテイラー展開して「多項式＋小さな誤差」の形に書き直して求める技能です。誤差は記号 $o (x^{n})$ でまとめて書くので、剰余項を細かく評価しなくても計算を進められます。 $\frac{sin x - x cos x}{x ^{3}}$ のように、分子で先頭の項どうしが打ち消し合う極限で特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

まず記号を定義します。 $x \to 0$ のとき $\frac{f ( x )}{x ^{n}} \to 0$ となる関数 $f (x)$ を $o (x^{n})$ と書きます（ランダウの記号、「スモールオー」と読みます）。「 $x^{n}$ よりも速く $0$ に近づく部分」という意味です。 $o (x^{n})$ は特定の 1 つの関数ではなく、「この条件を満たす何らかの関数」を表します。そのため、 $o (x^{3}) - o (x^{3})$ は $0$ ではなく再び $o (x^{3})$ です。定義からすぐ次がわかります（ $m, n, k$ は 0 以上の整数）。(i) 定数 $c$ に対し $c \cdot o (x^{n}) = o (x^{n})$ 。(ii) $m \leq n$ なら $o (x^{m}) + o (x^{n}) = o (x^{m})$ であり、 $x^{n}$ 自身も $o (x^{m})$ （ $m < n$ のとき）。(iii) $x^{k} \cdot o (x^{n}) = o (x^{n + k})$ 。(iv) $k \leq n$ なら $\frac{o ( x ^{n} )}{x ^{k}} = o (x^{n - k})$ 。特に $\frac{o ( x ^{k} )}{x ^{k}} \to 0$ です。

次に、テイラー展開の剰余項がこの $o$ で書けることを確かめます。 $f$ が $0$ の近くで $n + 1$ 回微分可能で、 $f^{(n + 1)}$ が連続だとします。剰余項付きのテイラーの定理より、 $0$ と $x$ の間のある点 $θ x$ （ $0 < θ < 1$ ）を使って $f (x) = \sum_{j = 0}^{n} \frac{f ^{(j)} ( 0 )}{j !} x^{j} + \frac{f ^{(n + 1)} ( θ x )}{( n + 1 )!} x^{n + 1}$ と書けます。 $f^{(n + 1)}$ は $0$ の近くで有界なので、剰余項を $x^{n}$ で割ると $\frac{f ^{(n + 1)} ( θ x )}{( n + 1 )!} x \to 0$ となります。つまり剰余項は $o (x^{n})$ です。たとえば $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ 、 $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ 、 $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ 、 $lo g (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ です。

不定形がうまく解ける理由は次のとおりです。分母が $x^{k}$ （またはそれに近いもの）のとき、分子を $x^{k}$ の項まで展開して $a x^{k} + o (x^{k})$ の形にできれば、 $\frac{a x ^{k} + o ( x ^{k} )}{x ^{k}} = a + \frac{o ( x ^{k} )}{x ^{k}} \to a$ です。「打ち消し合って $0$ に見える部分」の中から、本当に残る主要な項を取り出しているのです。

手順

分母（または比較したい量）の主要な次数 $x^{k}$ を確認する。分母が関数なら、それも展開して $c x^{k} + o (x^{k})$ （ $c \neq = 0$ ）の形にする。
分子の各関数を $x^{k}$ の項までテイラー展開し、残りを $o (x^{k})$ と書く。例: $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ 。
$o$ の計算規則（ $x^{j} \cdot o (x^{n}) = o (x^{n + j})$ 、 $o (x^{n}) \pm o (x^{n}) = o (x^{n})$ 、 $x^{n} = o (x^{m})$ （ $m < n$ ））を使って整理し、分子を $a x^{k} + o (x^{k})$ の形にまとめる。
分子と分母を $x^{k}$ で割り、 $\frac{o ( x ^{k} )}{x ^{k}} \to 0$ を使って極限 $\frac{a}{c}$ を求める。
もし分子の $x^{k}$ 以下の項がすべて消えて $o (x^{k})$ しか残らない場合も、極限は $0$ と決まる。一方、展開の次数が分母の次数より低く、結論が出ないときは、展開の次数を上げてやり直す。

例題

極限 $x \to 0 lim \frac{sin x - x cos x}{x ^{3}}$ を求めよ。

例題の解答

手順1: 分母は $x^{3}$ なので $k = 3$ です。分子を $x^{3}$ の項まで展開します。
手順2: $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ です。 $x cos x$ には前に $x$ が掛かっているので、 $cos x$ は $x^{2}$ の項までで足ります。 $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ です。
手順3: 規則 $x \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})$ より、 $x cos x = x - \frac{x ^{3}}{2} + o (x^{3})$ です。よって
$sin x - x cos x = (x - \frac{x ^{3}}{6}) - (x - \frac{x ^{3}}{2}) + o (x^{3}) = \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})$
となります（ $o (x^{3}) - o (x^{3}) = o (x^{3})$ に注意）。
手順4: $x^{3}$ で割ると $\frac{sin x - x cos x}{x ^{3}} = \frac{1}{3} + \frac{o ( x ^{3} )}{x ^{3}}$ です。 $x \to 0$ で第 2 項は $0$ に近づくので、極限は $\frac{1}{3}$ です。

答え: $\frac{1}{3}$

よくある誤り

展開の次数が足りない誤り。 $sin x = x + o (x)$ 、 $cos x = 1 + o (1)$ で止めると、分子は $o (x)$ にしかならず、 $x^{3}$ で割っても極限は決まらない。正しくは、分母の次数 $x^{3}$ まで展開して $sin x - x cos x = \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})$ とする。
$o (x^{3}) - o (x^{3}) = 0$ としてしまう誤り。2 つの $o (x^{3})$ は一般に別の関数なので打ち消し合わない。正しくは $o (x^{3}) - o (x^{3}) = o (x^{3})$ である。
$x^{k}$ で割るときに次数を下げ忘れる誤り（例: $\frac{o ( x ^{3} )}{x} = o (x^{3})$ とする）。正しくは $\frac{o ( x ^{3} )}{x} = o (x^{2})$ 、 $x \cdot o (x^{2}) = o (x^{3})$ のように、掛け割りした分だけ次数がずれる。
差の中で「 $sin x \approx x$ 、 $cos x \approx 1$ 」と先に置き換えて、 $sin x - x cos x \approx x - x = 0$ から極限を $0$ としてしまう誤り。打ち消し合う差では、置き換えで捨てた高次の項が答えを決める。正しくは $o$ 付きで展開し、 $\frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})$ のように残る主要な項を取り出す。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

積分の極限の次の項（大学院数学測度論・実解析）
トーラス結び目のジョーンズ多項式の t=1 での展開（大学院数学結び目理論）
オイラー・マクローリンの和公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）