積分の極限の次の項

$lim_{n \to \infty} I_{n} = I$ がわかっているとき、 $I_{n} - I$ を部分積分やテイラー展開で主要項と残りに分け、残りに優収束定理を適用して $lim_{n \to \infty} n^{k} (I_{n} - I)$ の値を求められる

前提

置換と優収束定理による積分の極限（大学院数学測度論・実解析）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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平均値の定理（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）

説明

$lim_{n \to \infty} I_{n} = I$ がわかったあと、「 $I_{n}$ はどのくらいの速さで $I$ に近づくか」を調べるのがこの技能です。 $I_{n} - I$ を部分積分やテイラー展開で「具体的に計算できる主要項」と「優収束定理で極限がわかる残り」に分け、 $lim_{n \to \infty} n^{k} (I_{n} - I)$ の値を求めます。結果として $I_{n} = I + \frac{c}{n ^{k}} + o (\frac{1}{n ^{k}})$ という形の、極限の次の項（1 次の補正）がわかります。

なぜそうしてよいのか

たとえば $I_{n} = n \int_{0}^{1} x^{n} f (x) d x$ （ $f$ は $[0, 1]$ で $C^{1}$ ）は、前提の技能により $f (1)$ に収束します。次の項を調べるには $n (I_{n} - f (1))$ を扱いますが、 $f (1)$ は積分ではなく定数なので、そのままでは置換 $x = 1 - \frac{t}{n}$ と優収束定理にかけられる 1 つの積分の形になっていません。無理に 1 つの積分にまとめるには $f (1) = (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} f (1) d x$ と書き直すなど $f (1)$ の部分を別に扱う必要があり、そうすると
$I_{n} - f (1) = n \int_{0}^{1} x^{n} (f (x) - f (1)) d x - \frac{f ( 1 )}{n + 1}$
のように、誤差には「重み $n x^{n}$ の全体の大きさが $\frac{n}{n + 1}$ で 1 からずれること」と「 $x = 1$ の近くで $f$ が $f (1)$ から $f^{'} (1) (x - 1)$ 程度ずれること」の 2 つの原因があるとわかります。どちらも $\frac{1}{n}$ の大きさなので、片方だけ見ると答えを誤ります。最初から主要項と残りに分けて書くほうが見通しがよいのです。

そこで部分積分をします。 $x^{n} = (\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'}$ と見ると
$\int_{0}^{1} x^{n} f (x) d x = \frac{f ( 1 )}{n + 1} - \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n + 1} f^{'} (x) d x$
となり、第 1 項は $n$ の具体的な式、第 2 項は「 $\frac{1}{n} \times$ （前提の技能で極限がわかる量）」です。こうすると誤差 $I_{n} - f (1)$ が「 $n$ の具体的な式」＋「 $\frac{1}{n} \times (収束する量)$ 」の形に書け、 $n$ 倍した極限が計算できます。テイラー展開 $f (x) = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + r (x)$ を使っても同じことができ、多項式部分は $\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}$ 、 $\int_{0}^{1} x^{n} (1 - x) d x = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ のように厳密に計算し、残り $r (x) = o (x - 1)$ の寄与を優収束定理で 0 に持っていきます。

どちらの方法でも要点は同じで、「主要項はきちんと計算し、優収束定理には残りだけを任せる」ことです。残りの部分に $n^{k}$ を掛けたものが置換 $x = 1 - \frac{t}{n}$ のあとで $n$ によらない可積分関数で押さえられれば、極限と積分を交換できます。

手順

まず $I = lim I_{n}$ を確認し、どの点に重みが集まるか（ $x = 1$ など）と、 $I_{n} - I$ がどの大きさになりそうか（ $\frac{1}{n}$ 程度なら $k = 1$ ）を見当づける
部分積分（例: $x^{n} = (\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'}$ ）またはテイラー展開（例: $f (x) = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + r (x)$ ）で、 $I_{n}$ を $n$ の具体的な式で書ける主要項と、積分で残る残りの項に分ける
$n^{k} (I_{n} - I)$ を「主要項の部分」＋「残りの部分」に書き、主要項の部分の極限を直接計算する（例: $n (\frac{n}{n + 1} - 1) = - \frac{n}{n + 1} \to - 1$ ）
残りの部分を $x = 1 - \frac{t}{n}$ などで置換し、各点極限と $n$ によらない可積分な優関数（例: $(1 - \frac{t}{n})^{n + 1} 1_{[0, n]} (t) \leq e^{- t}$ ）を見つけて優収束定理で極限を求める
2 つの極限を足して $lim_{n \to \infty} n^{k} (I_{n} - I)$ を答える

例題

$I_{n} = n \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x} d x$ とすると $lim_{n \to \infty} I_{n} = \frac{1}{2}$ である。極限 $n \to \infty lim n (I_{n} - \frac{1}{2})$ を求めよ。

例題の解答

$f (x) = \frac{1}{1 + x}$ とおく。 $f$ は $[0, 1]$ で何回でも微分でき、 $f (1) = \frac{1}{2}$ , $f^{'} (x) = - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}$ , $f^{'} (1) = - \frac{1}{4}$ である。

手順 1: 重みは $x = 1$ に集まり、 $I = f (1) = \frac{1}{2}$ 。差は $\frac{1}{n}$ 程度と見込んで $k = 1$ とする。

手順 2: $x^{n} = (\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'}$ として部分積分すると
$\int_{0}^{1} x^{n} f (x) d x = [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} f (x)]_{0}^{1} - \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n + 1} f^{'} (x) d x = \frac{1}{2 ( n + 1 )} - \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n + 1} f^{'} (x) d x .$
（境界項は $x = 0$ で $0$ 、 $x = 1$ で $\frac{f ( 1 )}{n + 1} = \frac{1}{2 ( n + 1 )}$ 。）よって $I_{n} = \frac{n}{2 ( n + 1 )} - \frac{n}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n + 1} f^{'} (x) d x$ 。

手順 3: $\frac{n}{2 ( n + 1 )} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2 ( n + 1 )}$ なので
$n (I_{n} - \frac{1}{2}) = - \frac{n}{2 ( n + 1 )} - \frac{n}{n + 1} \cdot J_{n}, J_{n} = n \int_{0}^{1} x^{n + 1} f^{'} (x) d x .$
主要項の部分は $- \frac{n}{2 ( n + 1 )} \to - \frac{1}{2}$ 、また $\frac{n}{n + 1} \to 1$ 。

手順 4: $J_{n}$ で $x = 1 - \frac{t}{n}$ （ $d x = - \frac{d t}{n}$ ）と置換すると
$J_{n} = \int_{0}^{n} (1 - \frac{t}{n})^{n + 1} f^{'} (1 - \frac{t}{n}) d t = \int_{0}^{\infty} (1 - \frac{t}{n})^{n + 1} f^{'} (1 - \frac{t}{n}) 1_{[0, n]} (t) d t .$
$t \geq 0$ を固定すると被積分関数は $e^{- t} f^{'} (1) = - \frac{1}{4} e^{- t}$ に収束する（ $f^{'}$ の連続性と $(1 - \frac{t}{n})^{n + 1} \to e^{- t}$ ）。また $0 \leq t \leq n$ で $0 \leq (1 - \frac{t}{n})^{n + 1} \leq (1 - \frac{t}{n})^{n} \leq e^{- t}$ 、 $∣ f^{'} (x) ∣ \leq 1$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）なので、被積分関数の絶対値は $n$ によらない可積分関数 $e^{- t}$ で押さえられる。優収束定理より $J_{n} \to - \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = - \frac{1}{4}$ 。

手順 5: 以上より
$n \to \infty lim n (I_{n} - \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{4} .$
つまり $I_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4 n} + o (\frac{1}{n})$ である。

答え: $- \frac{1}{4}$

よくある誤り

「 $x = 1$ の近くでは $f (x) \approx f (1)$ だから」と $n \int_{0}^{1} x^{n} (f (x) - f (1)) d x$ の部分を $o (\frac{1}{n})$ とみなし、 $I_{n} \approx \frac{n}{n + 1} f (1)$ から $lim n (I_{n} - f (1)) = - f (1)$ としてしまう誤り（上の例なら $- \frac{1}{2}$ になる）。 $f (x) - f (1)$ は $x = 1 - \frac{t}{n}$ で $- f^{'} (1) \frac{t}{n}$ 程度なので、この部分も $\frac{1}{n}$ の大きさで効く。正しくは $n^{2} \int_{0}^{1} x^{n} (f (x) - f (1)) d x = \int_{0}^{n} (1 - \frac{t}{n})^{n} n (f (1 - \frac{t}{n}) - f (1)) d t$ とし、各点で $n (f (1 - \frac{t}{n}) - f (1)) \to - f^{'} (1) t$ 、優関数 $M t e^{- t}$ （ $M = max_{[0, 1]} ∣ f^{'} ∣$ ）を使って $\to - f^{'} (1) \int_{0}^{\infty} t e^{- t} d t = - f^{'} (1)$ 。合わせて $lim n (I_{n} - f (1)) = - f (1) - f^{'} (1)$
主要項の中の $n$ の式の補正を落としてしまう誤り。たとえば $\frac{n}{n + 1} f (1)$ を $f (1)$ と置き換えると $- \frac{f ( 1 )}{n + 1}$ の寄与が消え、上の例で答えが $+ \frac{1}{4}$ になってしまう。正しくは $n (\frac{n}{n + 1} - 1) f (1) = - \frac{n}{n + 1} f (1) \to - f (1)$ をきちんと残し、 $lim n (I_{n} - f (1)) = - f (1) - f^{'} (1)$ とする
部分積分の境界項を $x = 1$ の側だけ見て $x = 0$ の側を確かめない、または $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ではなく $\frac{x ^{n + 1}}{n}$ としてしまう誤り。正しくは $[\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} f (x)]_{0}^{1} = \frac{f ( 1 )}{n + 1}$ で、 $x = 0$ では $0$ になることを確認する
残りの項の極限を $n \int_{0}^{1} x^{n + 1} f^{'} (x) d x \to \int_{0}^{1} f^{'} (x) d x = f (1) - f (0)$ のように、重みが $x = 1$ に集まることを忘れて計算してしまう誤り。正しくは置換 $x = 1 - \frac{t}{n}$ のあと優収束定理により $\to f^{'} (1) \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = f^{'} (1)$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $n$ に対し
$a_{n} = n \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$
とおく（積分は区間 $[0, 1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。 $n \to \infty lim a_{n} = e$ であることが知られている。極限
$n \to \infty lim n (a_{n} - e)$
を求めよ。

積分の極限の次の項

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題