微分を使った不等式の証明

差の関数の増減を調べて $e^{x} \geq 1 + x$ のような不等式を示せる

前提

増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）

説明

「 $A (x) \geq B (x)$ がある範囲のすべての $x$ で成り立つ」ことを、差の関数 $f (x) = A (x) - B (x)$ の増減を調べて証明する方法です。 $e^{x} \geq 1 + x$ 、 $lo g x \leq x - 1$ 、 $sin x < x (x > 0)$ のように、指数・対数・三角関数と多項式を比べる不等式でよく使います。代数的な式変形だけでは示しにくい不等式も、微分を使えば増減表で確かめられます。

なぜそうしてよいのか

2 つの式を直接比べるのは難しくても、差 $f (x) = A (x) - B (x)$ を作れば、示したいことは「 $f (x) \geq 0$ 」という 1 つの関数の問題になります。 $f (x) \geq 0$ がいえれば $A (x) \geq B (x)$ です。そして関数の値がどこで小さくなるかは、前提の技能である増減表でわかります。

考える範囲での $f (x)$ の最小値を $m$ とすると、その範囲のすべての $x$ で $f (x) \geq m$ です。したがって $m \geq 0$ を示せば $f (x) \geq 0$ がいえます。範囲が $x \geq a$ のような半直線で、その範囲で $f^{'} (x) \geq 0$ （ $f$ が増加）なら、最小値は端の $f (a)$ です。このときは $f (a) \geq 0$ を確かめれば十分です。

$f^{'} (x)$ の符号がすぐにわからないときは、 $f^{'} (x)$ をさらに微分して $f^{''} (x)$ の符号から $f^{'} (x)$ の増減を調べます。まず $f^{'} (x)$ の符号を確定させ、それから $f (x)$ の増減を確定させます。等号が成り立つ $x$ は、 $f (x) = 0$ となる点、つまり最小値 $0$ をとる点です。

手順

差の関数を作る：示したい不等式 $A (x) \geq B (x)$ に対して $f (x) = A (x) - B (x)$ とおく。
$f^{'} (x)$ を求め、考える範囲でその符号を調べる。符号がわからなければ $f^{''} (x)$ を求めて $f^{'} (x)$ の増減から符号を決める。
増減表をかき、考える範囲での $f (x)$ の最小値（増加・減少だけなら範囲の端の値）を求める。
最小値 $\geq 0$ から $f (x) \geq 0$ 、すなわち $A (x) \geq B (x)$ を結論する。等号は $f (x) = 0$ となる $x$ で成り立つ。

例題

すべての実数 $x$ について $e^{x} \geq 1 + x$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つときの $x$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順1】差の関数 $f (x) = e^{x} - (1 + x) = e^{x} - 1 - x$ とおく。示すことは、すべての実数 $x$ で $f (x) \geq 0$ となることである。

【手順2】 $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ である。 $e^{x}$ は増加関数で $e^{0} = 1$ だから、 $x < 0$ のとき $f^{'} (x) < 0$ 、 $x = 0$ のとき $f^{'} (x) = 0$ 、 $x > 0$ のとき $f^{'} (x) > 0$ となる。

【手順3】増減表は次のようになる。 $x < 0$ で $f$ は減少し、 $x = 0$ で $f^{'} = 0$ 、 $x > 0$ で $f$ は増加する。よって $f (x)$ は $x = 0$ で最小値 $f (0) = e^{0} - 1 - 0 = 0$ をとる。

【手順4】すべての実数 $x$ で $f (x) \geq f (0) = 0$ である。よって $e^{x} \geq 1 + x$ が成り立つ。

また、 $f$ は $x \leq 0$ で減少し、 $x \geq 0$ で増加する。そのため $x \neq = 0$ のときは $f (x) > f (0) = 0$ である。したがって等号が成り立つのは $x = 0$ のときだけである。

答え: $0$

よくある誤り

$f^{'} (x) \geq 0$ （増加）だけを示して、範囲の端の値を確かめずに $f (x) \geq 0$ と結論してしまう誤り。たとえば $x \geq 0$ で $f (x) = e^{x} - (x + 2)$ は $f^{'} (x) = e^{x} - 1 \geq 0$ ですが、 $f (0) = - 1 < 0$ なので $e^{x} \geq x + 2$ は成り立ちません。正しくは、増加を示したうえで端の値 $f (0) \geq 0$ も確かめます。
増減表の「極小値」をそのまま「最小値」と決めつけてしまう誤り。たとえば $f (x) = x^{3} - 3 x$ は $x = 1$ で極小値 $- 2$ をとりますが、 $x \to - \infty$ で $f (x) \to - \infty$ なので、実数全体での最小値ではありません。正しくは、範囲の端や $x \to \pm \infty$ での様子も含めて、範囲全体での最小値を確認します。
範囲の端が含まれないのに、端の値を代入して等号付きのまま結論してしまう誤り。たとえば「 $x > 0$ で $e^{x} > 1 + x$ 」を示すとき、 $f (x) \geq f (0) = 0$ だけでは不等号 $>$ はいえません。正しくは、 $x > 0$ で $f^{'} (x) = e^{x} - 1 > 0$ から $f$ が $x \geq 0$ で増加することを使い、 $x > 0$ なら $f (x) > f (0) = 0$ と示します。
定義域を確かめずに差の関数を扱ってしまう誤り。たとえば $f (x) = x - 1 - lo g x$ は $x > 0$ でしか定義されません。 $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ の符号も $x > 0$ の範囲で調べます。正しくは、 $0 < x < 1$ で $f^{'} (x) < 0$ 、 $x > 1$ で $f^{'} (x) > 0$ なので、最小値は $f (1) = 0$ となり、 $lo g x \leq x - 1 (x > 0)$ が示されます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置換と優収束定理による積分の極限（大学院数学測度論・実解析）