特殊関数・漸近解析の問題

方針: ラプラスの方法に従い、被積分関数 ${\cos }^{n}t=e^{n\log \cos t}$（$|t|<\pi /2$）の最大点 $t=0$ の近くで、$\cos t$ をガウス型関数で上下から挟み、上極限と下極限を別々に評価する。

ステップ 1（上からの評価）. $f(t)=\log \cos t+\frac{t^2}{2}$ を $[0,\pi /2)$ で考える。この区間で $\cos t>0$ なので $f$ は微分可能で
$$f^{\prime }(t)=-\tan t+t.$$
$0\le t<\pi /2$ では $\tan t\ge t$ である（$u(t)=\tan t-t$ は $u(0)=0$, $u^{\prime }(t)={\tan }^{2}t\ge 0$ より単調非減少）。よって $f^{\prime }(t)\le 0$ で、$f(0)=0$ から $f(t)\le 0$、すなわち $\cos t\le e^{-t^2/2}$ が $0\le t<\pi /2$ で成り立つ。$\cos t$ と $e^{-t^2/2}$ はともに偶関数なので $|t|<\pi /2$ でも成り立ち、$t=\pm \pi /2$ では左辺が $0$ なので $[-\pi /2,\pi /2]$ 全体で成り立つ。この区間で両辺とも $0$ 以上なので $n$ 乗しても大小は保たれ、
$$0\le {\cos }^{n}t\le e^{-n{t}^2/2}(|t|\le \pi /2).$$
$e^{-n{t}^2/2}>0$ なので積分区間を $\mathbb{R}$ に広げると積分は大きくなるか等しく、
$$\sqrt{n}{I}_n\le \sqrt{n}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-n{t}^2/2}dt.$$
$s=\sqrt{n}t$ と置換すると $dt=ds/\sqrt{n}$ で、右辺は ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2}ds=\sqrt{2\pi }$ である。よって、すべての $n$ で $\sqrt{n}{I}_n\le \sqrt{2\pi }$ であり、
$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt{n}{I}_n\le \sqrt{2\pi }.(1)$$

ステップ 2（$t=0$ の近くでの下からの評価）. $\epsilon >0$ を任意にとる。$h(t)=\frac{\tan t}{t}$ は $(0,\pi /2)$ で連続で、$\underset{t\to +0}{\lim }h(t)=1$ である。よって、ある $\delta \in (0,\pi /2)$ があって、$0<t\le \delta$ のとき $h(t)\le 1+\epsilon$、すなわち $\tan t\le (1+\epsilon )t$ が成り立つ。
$g(t)=\log \cos t+(1+\epsilon )\frac{t^2}{2}$ を $[0,\delta ]$ で考えると（$\delta <\pi /2$ なので $\cos t>0$）
$$g^{\prime }(t)=-\tan t+(1+\epsilon )t\ge 0(0<t\le \delta )$$
で、$g(0)=0$ なので $g(t)\ge 0$、すなわち $\cos t\ge e^{-(1+\epsilon )t^2/2}$ が $0\le t\le \delta$ で成り立つ。偶関数性から $|t|\le \delta$ でも成り立つ。両辺とも正なので $n$ 乗して
$${\cos }^{n}t\ge e^{-n(1+\epsilon )t^2/2}(|t|\le \delta ).$$

ステップ 3（下極限の評価）. $[-\pi /2,\pi /2]$ 上で ${\cos }^{n}t\ge 0$ なので、積分区間を $[-\delta ,\delta ]$ に縮めると積分は小さくなるか等しい。ステップ 2 と合わせて
$$\sqrt{n}{I}_n\ge \sqrt{n}{\int }_{-\delta }^{\delta }{\cos }^{n}tdt\ge \sqrt{n}{\int }_{-\delta }^{\delta }{e}^{-n(1+\epsilon )t^2/2}dt.$$
$s=\sqrt{n(1+\epsilon )}t$ と置換すると $dt=\frac{ds}{\sqrt{n(1+\epsilon )}}$ で、
$$\sqrt{n}{\int }_{-\delta }^{\delta }{e}^{-n(1+\epsilon )t^2/2}dt=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon }}{\int }_{-\delta \sqrt{n(1+\epsilon )}}^{\delta \sqrt{n(1+\epsilon )}}{e}^{-s^2/2}ds.$$
$n\to \infty$ のとき積分の端 $\pm \delta \sqrt{n(1+\epsilon )}$ は $\pm \infty$ に発散し、$e^{-s^2/2}$ は $\mathbb{R}$ 上で広義積分可能なので、右辺の積分は ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2}ds=\sqrt{2\pi }$ に収束する。よって
$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\sqrt{n}{I}_n\ge \frac{\sqrt{2\pi }}{\sqrt{1+\epsilon }}.$$
左辺は $\epsilon$ によらないので、$\epsilon \to +0$ として
$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\sqrt{n}{I}_n\ge \sqrt{2\pi }.(2)$$

結論. $(1)$, $(2)$ より $\sqrt{2\pi }\le \mathrm{liminf}\sqrt{n}{I}_n\le \mathrm{limsup}\sqrt{n}{I}_n\le \sqrt{2\pi }$ となるので、極限が存在して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n=\sqrt{2\pi }$$
である。