特殊関数・漸近解析の問題

方針: 1 次のオイラー・マクローリンの和公式を部分積分で導き、$a_n$ を定数と積分 $R_n$ の和に書く。$R_n$ の被積分関数は絶対可積分でないので、周期関数の原始関数を使ってもう一度部分積分し、絶対収束する積分に直す。

以下 $f(x)=\sqrt{x}$ $(x\ge 1)$ とおく。$f$ は $[1,\infty )$ で $C^2$ 級で、$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$, $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}{x}^{-3/2}$ である。実数 $x$ に対し、$\lfloor x\rfloor$ を $x$ 以下の最大の整数、$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ とし、$B(x)=\{x\}-\frac{1}{2}$ とおく。

ステップ 1（1 次の和公式）. 整数 $k\ge 1$ に対し、$[k,k+1)$ 上では $\{x\}=x-k$ なので $B(x)=x-k-\frac{1}{2}$ である。$[k,k+1]$ 上の連続関数 $x-k-\frac{1}{2}$ は $B$ と点 $x=k+1$ を除いて一致するので、積分の値は変わらず、部分積分により
$${\int }_k^{k+1}B(x)f^{\prime }(x)dx=\left[\right(x-k-\frac{1}{2})f(x){]}_k^{k+1}-{\int }_k^{k+1}f(x)dx=\frac{f(k)+f(k+1)}{2}-{\int }_k^{k+1}f(x)dx.$$
これを $k=1,2,\dots ,n-1$ について足すと、${\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{f(k)+f(k+1)}{2}={\sum }_{k=1}^{n}f(k)-\frac{f(1)+f(n)}{2}$ より
$$\sum _{k=1}^{n}f(k)={\int }_1^{n}f(x)dx+\frac{f(1)+f(n)}{2}+{\int }_1^{n}B(x)f^{\prime }(x)dx.(1)$$
（$n=1$ のときは両辺とも $f(1)$ で成り立つ。）

ステップ 2（$a_n$ の書き換え）. ${\int }_1^n\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}(n^{3/2}-1)$, $\frac{f(1)+f(n)}{2}=\frac{1+\sqrt{n}}{2}$ なので、$(1)$ より
$$\sum _{k=1}^n\sqrt{k}=\frac{2}{3}{n}^{3/2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{n}+R_n,R_n={\int }_1^{n}B(x)f^{\prime }(x)dx.$$
よって
$$a_n=-\frac{1}{6}+R_n.(2)$$
したがって $R_n$ が $n\to \infty$ で収束することを示せばよい。$|B(x)f^{\prime }(x)|$ は $x^{-1/2}$ 程度の大きさなので、このままでは絶対収束を言えない。

ステップ 3（2 回目の部分積分）. $P(x)=\frac{\{x{\}}^2-\{x\}}{2}$ とおく。$[k,k+1)$ 上では $P(x)=\frac{(x-k{)}^2-(x-k)}{2}$ で、この多項式は $x=k$ と $x=k+1$ で値 $0$ をとる。整数点で $P=0$ なので $P$ は $\mathbb{R}$ 上連続であり、$(k,k+1)$ 上で $P^{\prime }(x)=(x-k)-\frac{1}{2}=B(x)$ である。また $0\le \{x\}<1$ において $\{x{\}}^2-\{x\}=\{x\}(\{x\}-1)\in \left[-\frac{1}{4},0\right]$ なので
$$|P(x)|\le \frac{1}{8}(x\in \mathbb{R}).$$
各 $[k,k+1]$ 上で、$P$ と $B$ を上の多項式とその導関数で置き換えて（端点を除いて一致するので積分は変わらない）部分積分すると、両端で $P=0$ なので
$${\int }_k^{k+1}B(x)f^{\prime }(x)dx=[P(x)f^{\prime }(x){]}_k^{k+1}-{\int }_k^{k+1}P(x)f^{\prime \prime }(x)dx=-{\int }_k^{k+1}P(x)f^{\prime \prime }(x)dx.$$
$k=1,\dots ,n-1$ について足して
$$R_n=-{\int }_1^{n}P(x)f^{\prime \prime }(x)dx=\frac{1}{4}{\int }_1^{n}P(x)x^{-3/2}dx.(3)$$

ステップ 4（収束）. $x\ge 1$ で $\left|\frac{1}{4}P(x)x^{-3/2}\right|\le \frac{1}{32}{x}^{-3/2}$ であり、${\int }_1^{\infty }{x}^{-3/2}dx=2<\infty$ である。よって $\frac{1}{4}P(x)x^{-3/2}$ は $[1,\infty )$ 上で絶対可積分で、広義積分 $R=\frac{1}{4}{\int }_1^{\infty }P(x)x^{-3/2}dx$ は収束する。$(3)$ より
$$|R_n-R|=\left|\frac{1}{4}{\int }_n^{\infty }P(x)x^{-3/2}dx\right|\le \frac{1}{32}{\int }_n^{\infty }{x}^{-3/2}dx=\frac{1}{16\sqrt{n}}\to 0(n\to \infty )$$
であり、$R_n\to R$ である。

結論. $(2)$ より $a_n=-\frac{1}{6}+R_n\to -\frac{1}{6}+R$ となり、数列 $(a_n)$ は有限の極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}{\int }_1^{\infty }\frac{\{x{\}}^2-\{x\}}{2}{x}^{-3/2}dx$$
をもつ。