特殊関数・漸近解析

$s>0$ に対してガンマ関数を
$$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$$
で定める。積 $\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)\Gamma \left(\frac{5}{3}\right)$ の値を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ と実数 $a$ に対し、ポッホハマー記号を $(a{)}_0=1,(a{)}_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)(n\ge 1)$ で定め、ガウスの超幾何級数を
$${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_{n}n!}{z}^n$$
で定める（$c$ は $0$ 以下の整数でないとする）。無限級数
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n+1)8^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$$
は収束し、$S={}_2{F}_1(a,b;c;z)$ と、項ごとに一致する形に書き直せる。ただし $a\le b$ とする。このときの組 $(a,b,c,z)$ を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ をロドリゲスの公式
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$$
で定める。$P_n$ は直交関係
$${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}(m,n\ge 0)$$
と、$n\ge 1$ に対する漸化式
$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)-n{P}_{n-1}(x)$$
を満たす（${\delta }_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。これらを用いて、定積分
$$I={\int }_{-1}^{1}x{P}_3(x)P_4(x)dx$$
の値を求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、エルミート多項式 $H_n(x)$ を
$$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$$
で定める。$H_n$ は直交関係
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{H}_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=2^{n}n!\sqrt{\pi }{\delta }_{mn}(m,n\ge 0)$$
と、$n\ge 1$ に対する漸化式
$$x{H}_n(x)=\frac{1}{2}{H}_{n+1}(x)+n{H}_{n-1}(x)$$
を満たす（${\delta }_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。これらを用いて、広義積分
$$J={\int }_{-\infty }^{\infty }x{H}_2(x)H_3(x)e^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

整数 $n$ と実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_n(x)$ を母関数展開
$$\exp \left(\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)t^n(t\ne 0)$$
で定める。この展開は $t=e^{i\theta }$（$\theta$ は実数）とおいたあと $\theta$ について項別に微分してよいものとする。実数 $x$ に対し、無限級数
$$S(x)=\sum _{k=1}^{\infty }(2k-1)J_{2k-1}(x)=J_1(x)+3J_3(x)+5J_5(x)+\cdots$$
を $x$ の式で表せ。

正の整数 $n$ に対し
$$b_n=\frac{e^n(2n)!}{4^n{n}^{n}n!}$$
とおく（たとえば $b_1=\frac{e}{2}$）。極限 $L=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$ は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$a_n$ を多項式 $(1+x+x^2{)}^n$ を展開したときの $x^n$ の係数とする（たとえば $a_1=1,a_2=3,a_3=7$）。$n\to \infty$ のとき、正の定数 $\alpha ,C$ を用いて
$$a_n\sim C\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n}}\left(\text{すなわち }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}{a}_n}{{\alpha }^n}=C\right)$$
と表される。組 $(\alpha ,C)$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$$
とおく。区分求積法により ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{\pi }{4}$ である。$n\to \infty$ のとき、有理数の定数 $a,b$ によって
$$S_n=\frac{\pi }{4}+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$
と表される。組 $(a,b)$ を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{x}{(1+x^3{)}^2}dx$$
は収束する。$I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $\pi$ を用いて表せ。

無限級数
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{4^n(2n+3)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$$
は収束する。ガウスの超幾何定理を用いて $S$ の値を求めよ。ただし $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$、$0!=1$ とする。

実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_0(x)$ をべき級数
$$J_0(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(k!{)}^2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}$$
で定める（すべての実数 $x$ で $|J_0(x)|\le 1$ である）。広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-2x}{J}_0(x)dx$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$A_n=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^4$$
とおく（たとえば $A_1=2,A_2=18$）。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{3/2}{A}_n}{16^n}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

$0<s<4$ を満たす実数 $s$ に対して
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^{s-1}}{1+x^4}dx=\frac{\pi }{4\sin \frac{\pi s}{4}}$$
が成り立つ。これを用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{1+x^4}dx$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ をロドリゲスの公式
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$$
で定める（$P_0(x)=1,P_1(x)=x,P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}$）。積分
$$J={\int }_{-1}^1{x}^2{P}_2(x)P_4(x)dx$$
の値を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{16^n(n+1)(n+2)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}^2$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。ただし $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$ であり、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)=1$ とする。

無限級数
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(3n)!}{27^n(n!{)}^2(n+1)!}$$
は収束する。ガウスの超幾何関数
$${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_{n}n!}{z}^n,(a{)}_n=a(a+1)\cdots (a+n-1),(a{)}_0=1$$
を用いて、$S$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^4{)}^2}dx$$
の値を、ベータ関数 $B(p,q)$ とガンマ関数 $\Gamma (s)$ を用いて求めよ。

正の整数 $n$ に対し、多項係数
$$M_n=\frac{(3n)!}{(n!{)}^3}$$
を考える。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{M}_n}{27^n}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

実数 $a$ と $0$ 以上の整数 $k$ に対し, ポッホハマー記号を $(a{)}_0=1,(a{)}_k=a(a+1)\cdots (a+k-1)(k\ge 1)$ で定める。ガウスの超幾何級数
$$F(a,b;c;x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{k!(c{)}_k}{x}^k$$
について, 級数
$$S=F\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3};2;1\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}_k{\left(-\frac{1}{3}\right)}_k}{k!(2{)}_k}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

正の実数 $\lambda$ に対して
$$I(\lambda )={\int }_0^{\infty }\exp \left(-\lambda \left(x^2+\frac{2}{x}\right)\right)dx$$
とおく。極限
$$L=\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\sqrt{\lambda }{e}^{3\lambda }I(\lambda )$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(3n)!}{27^n(n!{)}^2(n+1)!}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。ただし $0!=1$ とする。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n}tdt$$
とおく。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n=\sqrt{2\pi }$$
であることを証明せよ。ただし、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2}ds=\sqrt{2\pi }$ は用いてよい。

実数 $a,b$ が $0<a<b$ を満たすとする。$x>0$ に対し $x^c=e^{c\log x}$（$c$ は実数）と定める。このとき広義積分
$$J(a,b)={\int }_0^{\infty }\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx$$
は収束し、
$$J(a,b)=\frac{\pi }{b\sin \left(\frac{\pi a}{b}\right)}$$
であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- $p>0,q>0$ に対してベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{t}^{p-1}(1-t{)}^{q-1}dt$ は収束し、$B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$ が成り立つ。
- $\Gamma (1)=1$ であり、$0<s<1$ に対して相補公式 $\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$ が成り立つ。
- 開区間の間の $C^1$ 級の狭義単調な全単射による置換積分は、非負の被積分関数の広義積分に対して（値が $+\infty$ の場合も含めて）成り立つ。

正の整数 $n$ に対して
$$a_n=\sum _{k=1}^n\sqrt{k}-\frac{2}{3}{n}^{3/2}-\frac{1}{2}{n}^{1/2}$$
とおく。数列 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ が有限の極限をもつ（ある実数に収束する）ことを証明せよ。

ただし、オイラー・マクローリンの和公式を用いる場合は、使う形を証明の中で導くこと。

実数 $t>0$ に対して、級数
$$S(t)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{4^k(k+t)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}\right)$$
は収束し、
$$S(t)=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma (t)}{\Gamma \left(t+\frac{1}{2}\right)}$$
が成り立つことを証明せよ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}\right)=\frac{(2k)!}{(k!{)}^2}$ は二項係数である。

また、実数 $x$ と整数 $k\ge 0$ に対してポッホハマー記号を $(x{)}_0=1$, $(x{)}_k=x(x+1)\cdots (x+k-1)$ $(k\ge 1)$ で定め、超幾何級数を
$${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{(c{)}_{k}k!}{z}^k$$
とする。次の事実は用いてよい。
- （ガウスの公式）実数 $a,b,c$ が、$c$ は $0$ 以下の整数でなく、$c-a-b>0$ を満たすとき、${}_2{F}_1(a,b;c;1)$ は収束し、${}_2{F}_1(a,b;c;1)=\frac{\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}$ が成り立つ。
- $x>0$ に対して $\Gamma (x)$ は正の実数で $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$、および $\Gamma (1)=1$, $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$。

$0$ 以上の整数 $n$ と実数 $a$ に対し、ポッホハマー記号を $(a{)}_0=1,(a{)}_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)(n\ge 1)$ で定める。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot \frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}_n{\left(\frac{2}{3}\right)}_n}{{\left(\frac{7}{2}\right)}_{n}n!}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の領域 $$T=\{(x,y,z)\mid x>0,y>0,z>0,x+y+z<1\}$$ 上の広義積分 $$I={\iiint }_T{x}^{-3/4}{y}^{-1/4}{z}^{-2/3}(1-x-y-z{)}^{-1/3}dxdydz$$ は収束する。$I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $\pi$ を用いて表せ。

次の無限級数を考える。
$$S=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{16^k(k+1)(k+2)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k}\right)}^2$$
この級数は収束する。$S$ の値を求めよ。

$xy$ 平面上の三角形領域 $$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\}$$ に対し、重積分 $$I={\iint }_D\sqrt{xy(1-x-y)}dxdy$$ の値を求めよ。答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、$\pi$ と有理数を用いて表せ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し、エルミート多項式 $H_n(x)$ を
$$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$$
で定める（$H_0(x)=1,H_1(x)=2x,H_2(x)=4x^2-2,\dots$）。このとき、積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{H}_2(x)H_4(x)e^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

正の実数 $\lambda$ に対して
$$I(\lambda )={\int }_0^1{x}^{\lambda }(1-x{)}^{2\lambda }dx$$
とおく。極限
$$L=\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\sqrt{\lambda }{\left(\frac{27}{4}\right)}^{\lambda }I(\lambda )$$
は有限の正の値をとる。$L$ の値を求めよ。

整数 $n$ と実数 $x$ に対し，第 1 種ベッセル関数 $J_n(x)$ を母関数展開
$$\exp \left(\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)t^n(t\ne 0)$$
で定める（$J_n(x)$ は実数値であり，この級数は $t\ne 0$ で絶対収束する）。実数 $x$ に対し
$$S(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{n}^4{J}_n(x{)}^2$$
とおく。この級数は収束する。$S(x)$ を $x$ の式で表せ。

実数 $x$ に対し、第 1 種ベッセル関数 $J_0(x)$ をべき級数
$$J_0(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(k!{)}^2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}$$
で定める。広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }x{e}^{-\sqrt{3}x}{J}_0(x)dx$$
は収束する。$I$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$S_n=\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$$
とおく。$n\to \infty$ のとき, 有理数の定数 $a,b,c,d$ によって
$$S_n=\log 2+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}+\frac{d}{n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$$
と表される。組 $(a,b,c,d)$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

実数 $a,b,c,d$ に対し
$$F(a,b,c,d)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x^6-a{x}^3-b{x}^2-cx-d\right)}^2{e}^{-x^2}dx$$
とおく。$a,b,c,d$ がすべての実数を動くときの $F(a,b,c,d)$ の最小値を求めよ。

積分
$$I={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\theta \log (\cos \theta )d\theta$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする（この広義積分は収束する）。

正の整数 $n$ に対し
$$a_n=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4n}{2n}\right)}{{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}^2}$$
とおく（たとえば $a_1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$）。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{\sqrt{n}}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^1\frac{x^4}{(1-x^3{)}^{2/3}}dx$$
は収束する。$I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $\pi$ を用いて表せ。

$0$ 以上の整数 $n$ に対して、ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ を
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}{\left(x^2-1\right)}^n$$
で定める（$n=0$ のときは $P_0(x)=1$ である）。$P_n^{\prime }(x)$ は $P_n(x)$ の $x$ についての導関数を表す。このとき、すべての $0$ 以上の整数 $n$ に対して
$${\int }_{-1}^1(P_n^{\prime }(x){)}^{2}dx=n(n+1)$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- $P_n$ は次数がちょうど $n$ の実係数多項式である。
- $P_n(1)=1$ であり、すべての実数 $x$ に対して $P_n(-x)=(-1{)}^n{P}_n(x)$ である。
- $0$ 以上の整数 $m,n$ に対して ${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn}$ である（${\delta }_{mn}$ はクロネッカーのデルタ）。

正の整数 $n$ に対し
$$S_n=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^3{8}^k$$
とおく（たとえば $S_1=9,S_2=129$）。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{S}_n}{27^n}$$
は正の有限値として存在する。$L$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x-2\sqrt{x}}dx$$
とおく。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e^{2\sqrt{n}}{I}_n}{n!}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

実数 $x$ に対し、第 $1$ 種ベッセル関数 $J_1(x)$ をべき級数
$$J_1(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(k+1)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+1}$$
で定める。$J_1(x)$ の正の零点はすべて単純で、可算無限個ある。それらを小さい順に $0<{\beta }_1<{\beta }_2<{\beta }_3<\cdots$ とする。このとき無限級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{\beta }_k^6}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{(\log x{)}^2}{1+x^3}dx$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

正の整数 $n$ に対し、$a_n$ を
$${\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^n$$
を $x=0$ のまわりでべき級数に展開したときの $x^n$ の係数とする（たとえば $a_1=2,a_2=8,a_3=38$）。正の定数 $\alpha ,C$ が存在して
$$a_n\sim C\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n}}(n\to \infty )$$
が成り立つ（$\sim$ は両辺の比が $1$ に収束することを表す）。組 $(\alpha ,C)$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$A_n=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^3$$
とおく。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n{A}_n}{8^n}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I(n)={\int }_0^{\infty }{x}^n\exp \left(-x-\frac{x^2}{2n}\right)dx$$
とおく。また
$$\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2},\rho =\alpha e^{(1-\alpha )/2}$$
とする。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{I(n)}{n!{\rho }^n}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

$3$ 以上の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }(x-1){\left(\frac{x}{1+x^2}\right)}^{n}dx$$
とおく（この広義積分は収束する）。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{3/2}{2}^n{I}_n$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{(\log x{)}^2}{\sqrt{x}(1+x{)}^3}dx$$
の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$0$ 以上の整数 $n$ に対し
$$b_n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{2^k}{k!}$$
とおく。$b_n$ は $|z|<1$ における展開
$$\frac{1}{1-z}\exp \left(\frac{2z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n$$
の係数でもある。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{1/4}{e}^{-2\sqrt{2n}}{b}_n$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$T_n=\sum _{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}$$
とおく（両端の $k=n$ と $k=2n$ の項を含む）。$n\to \infty$ のとき、有理数の定数 $a,b,c$ によって
$$T_n=\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$
と表される。組 $(a,b,c)$ をこの順に求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$S_n=\sum _{k=-n}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+k}\right)e^{k^2/n},T_n=\sum _{k=-n}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+k}\right)e^{k^2/n}$$
とおく。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n{T}_n}{16^n{n}^2}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。