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特殊関数・漸近解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学特殊関数・漸近解析

実数 $t > 0$ に対して、級数
$S (t) = k = 0 \sum \infty \frac{1}{4 ^{k} ( k + t )} (k 2 k)$
は収束し、
$S (t) = \frac{π Γ ( t )}{Γ ( t + \frac{1}{2} )}$
が成り立つことを証明せよ。ここで $(k 2 k) = \frac{( 2 k )!}{( k ! ) ^{2}}$ は二項係数である。

また、実数 $x$ と整数 $k \geq 0$ に対してポッホハマー記号を $(x)_{0} = 1$ , $(x)_{k} = x (x + 1) \dots (x + k - 1)$ $(k \geq 1)$ で定め、超幾何級数を
$_{2} F_{1} (a, b; c; z) = k = 0 \sum \infty \frac{( a ) _{k} ( b ) _{k}}{( c ) _{k} k !} z^{k}$
とする。次の事実は用いてよい。
- （ガウスの公式）実数 $a, b, c$ が、 $c$ は $0$ 以下の整数でなく、 $c - a - b > 0$ を満たすとき、 $_{2} F_{1} (a, b; c; 1)$ は収束し、 $_{2} F_{1} (a, b; c; 1) = \frac{Γ ( c ) Γ ( c - a - b )}{Γ ( c - a ) Γ ( c - b )}$ が成り立つ。
- $x > 0$ に対して $Γ (x)$ は正の実数で $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ 、および $Γ (1) = 1$ , $Γ (\frac{1}{2}) = π$ 。

この問題で使うもの

ポッホハマー記号と超幾何級数への書き直し（説明と入口の問題）
ガウスの超幾何定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（85 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

一般項を $\frac{( a ) _{k} ( b ) _{k}}{( c ) _{k} k !}$ の形に書き直して、 $S (t)$ を $z = 1$ での超幾何級数の定数倍とみなし、ガウスの公式を使う方針で進めましょう。

ヒント 2

$\frac{1}{4 ^{k}} (k 2 k)$ は $(\frac{1}{2})_{k} / k!$ に等しく、 $\frac{1}{k + t}$ は $\frac{1}{t} \cdot \frac{( t ) _{k}}{( t + 1 ) _{k}}$ に等しくなります。

ヒント 3

2 つの書き換えから $S (t) = \frac{1}{t}_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, t; t + 1; 1)$ となります。ガウスの公式を使う前に、 $c - a - b > 0$ と $c$ が $0$ 以下の整数でないことを確かめましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$(\frac{1}{2})_{k} / k! = (k 2 k) / 4^{k}$ を、奇数の積を階乗で表すなどして $k = 0$ も含めて示している（3 点）
$(t)_{k} / (t + 1)_{k} = t / (t + k)$ を示し、 $\frac{1}{k + t}$ をポッホハマー記号の比で表している（2 点）
2 つの書き換えから、部分和の比較により $S (t) = \frac{1}{t}_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, t; t + 1; 1)$ と同定している（2 点）
$c - a - b = \frac{1}{2} > 0$ と $c = t + 1$ が $0$ 以下の整数でないことを確認してガウスの公式を適用し、収束も導いている（2 点）
$Γ (t + 1) = t Γ (t)$ と $Γ (\frac{1}{2}) = π$ で $π Γ (t) /Γ (t + \frac{1}{2})$ に整理して結論している（1 点）

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模範解答を読む

方針: 一般項を $\frac{( a ) _{k} ( b ) _{k}}{( c ) _{k} k !}$ の形に書き直して $S (t)$ を $_{2} F_{1} (\cdot, \cdot; \cdot; 1)$ の定数倍と同定し、ガウスの公式を適用する。

ステップ 1（中心二項係数の書き換え）. 整数 $k \geq 0$ に対して
$\frac{( \frac{1}{2} ) _{k}}{k !} = \frac{1}{4 ^{k}} (k 2 k) (1)$
を示す。 $k = 0$ では両辺とも $1$ である。 $k \geq 1$ のとき
$(\frac{1}{2})_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \dots \frac{2 k - 1}{2} = \frac{1 \cdot 3 \dots ( 2 k - 1 )}{2 ^{k}} .$
$(2 k)!$ を奇数の因数と偶数の因数に分けると $(2 k)! = (1 \cdot 3 \dots (2 k - 1)) \cdot (2 \cdot 4 \dots (2 k))$ で、 $2 \cdot 4 \dots (2 k) = 2^{k} k!$ なので $1 \cdot 3 \dots (2 k - 1) = \frac{( 2 k )!}{2 ^{k} k !}$ である。よって
$\frac{( \frac{1}{2} ) _{k}}{k !} = \frac{( 2 k )!}{2 ^{k} \cdot 2 ^{k} k ! \cdot k !} = \frac{1}{4 ^{k}} \cdot \frac{( 2 k )!}{( k ! ) ^{2}} = \frac{1}{4 ^{k}} (k 2 k) .$

ステップ 2（ $\frac{1}{k + t}$ の書き換え）. $t > 0$ と整数 $k \geq 0$ に対して
$\frac{( t ) _{k}}{( t + 1 ) _{k}} = \frac{t}{t + k} (2)$
を示す。 $k = 0$ では両辺とも $1$ 。 $k \geq 1$ のとき $(t)_{k} = t (t + 1) \dots (t + k - 1)$ , $(t + 1)_{k} = (t + 1) (t + 2) \dots (t + k)$ で、 $t > 0$ よりすべての因数は正だから、共通因数 $(t + 1) \dots (t + k - 1)$ （ $k = 1$ のときは空の積 $1$ ）を約分して $\frac{t}{t + k}$ を得る。よって $\frac{1}{k + t} = \frac{1}{t} \cdot \frac{( t ) _{k}}{( t + 1 ) _{k}}$ である。

ステップ 3（超幾何級数との同定）. $(1)$ , $(2)$ より、各 $k \geq 0$ で
$\frac{1}{4 ^{k} ( k + t )} (k 2 k) = \frac{1}{t} \cdot \frac{( \frac{1}{2} ) _{k} ( t ) _{k}}{( t + 1 ) _{k} k !} .$
したがって、各 $N \geq 0$ で $S (t)$ の第 $N$ 部分和は $_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, t; t + 1; 1)$ の第 $N$ 部分和の $\frac{1}{t}$ 倍に等しい。

ステップ 4（ガウスの公式の適用）. $a = \frac{1}{2}$ , $b = t$ , $c = t + 1$ とおく。 $t > 0$ より $c = t + 1 > 1$ なので $c$ は $0$ 以下の整数でなく、 $c - a - b = t + 1 - \frac{1}{2} - t = \frac{1}{2} > 0$ である。よってガウスの公式の仮定が満たされ、 $_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, t; t + 1; 1)$ は収束して、 $c - a = t + \frac{1}{2}$ , $c - b = 1$ より
$_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, t; t + 1; 1) = \frac{Γ ( t + 1 ) Γ ( \frac{1}{2} )}{Γ ( t + \frac{1}{2} ) Γ ( 1 )} .$
ステップ 3 より $S (t)$ の部分和はこの級数の部分和の $\frac{1}{t}$ 倍なので、 $S (t)$ も収束し
$S (t) = \frac{1}{t} \cdot \frac{Γ ( t + 1 ) Γ ( \frac{1}{2} )}{Γ ( t + \frac{1}{2} ) Γ ( 1 )} .$

ステップ 5（整理）. $t > 0$ より $Γ (t + 1) = t Γ (t)$ 、また $Γ (1) = 1$ , $Γ (\frac{1}{2}) = π$ なので
$S (t) = \frac{1}{t} \cdot \frac{t Γ ( t ) π}{Γ ( t + \frac{1}{2} )} = \frac{π Γ ( t )}{Γ ( t + \frac{1}{2} )} .$
（ $t + \frac{1}{2} > 0$ なので $Γ (t + \frac{1}{2})$ は正の実数で、割り算は意味をもつ。）

以上で、 $t > 0$ のとき級数 $S (t)$ が収束し $S (t) = \frac{π Γ ( t )}{Γ ( t + \frac{1}{2} )}$ であることが示された。

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