ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布

定数 $c$ を用いて、確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^3(1-x{)}^2& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ とガンマ関数の関係を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

$c$ を定数とする。確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(1-x{)}^3& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ $(p>0,q>0)$ と、関係式 $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$、およびガンマ関数の漸化式 $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$、$\Gamma (1)=1$ を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

定数 $c$ に対して、連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(1-x{)}^3& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ $(p>0,q>0)$ と、ガンマ関数との関係 $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$ を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

ある電子部品の寿命（単位: 年）は、$\lambda >0$ が与えられたとき、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。母数 $\lambda$ は未知で、その事前分布として確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布（形状母数 $2$、レート母数 $3$）を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 4 個の部品の寿命を観測したところ、
$$1.2,0.8,2.5,0.5$$
であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均（事後分布の期待値）を求めよ。

ある電子部品の寿命（単位: 年）は、$\lambda >0$ が与えられたとき、確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ は未知の母数で、その事前分布として確率密度関数
$$\pi (\lambda )=4{\lambda }^2{e}^{-2\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布（形状母数 $3$、尺度の逆数 $2$）を考える。

$\lambda$ が与えられたとき互いに独立なこの部品 $4$ 個の寿命を調べたところ、
$$1.2,0.8,2.5,1.5$$
であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{data})$ を求めよ。

ある電球の寿命（単位: 千時間）を調べる。$\lambda >0$ を未知の母数とし、$\lambda$ が与えられたとき、電球の寿命 $X$ は確率密度関数
$$f(x\mid \lambda )=\lambda e^{-\lambda x}(x>0)$$
の指数分布に従うとする。$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=9\lambda e^{-3\lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。$\lambda$ が与えられたとき互いに独立な 3 個の電球の寿命を測ったところ、$1.5,2,2.5$ であった。このデータのもとでの $\lambda$ の事後平均 $E(\lambda \mid \text{データ})$ を求めよ。

$\alpha >0$, $\beta >0$ を定数とする。母数 $\lambda >0$ の事前分布を、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
をもつガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha ,\beta )$ とする。$\lambda$ が与えられたとき、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に平均 $\lambda$ のポアソン分布に従い、その実現値 $x_1,\dots ,x_n$（いずれも $0$ 以上の整数）が得られたとする。$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ とおく。

このとき、$\lambda$ の事後分布はガンマ分布 $\mathrm{Ga}\left(\alpha +{\sum }_{i=1}^n{x}_i,\beta +n\right)$ であり、事後分布の平均は
$$E[\lambda \mid x_1,\dots ,x_n]=w\cdot \frac{\alpha }{\beta }+(1-w)\bar{x},w=\frac{\beta }{\beta +n}$$
と、事前分布の平均 $\frac{\alpha }{\beta }$ と標本平均 $\bar{x}$ の重み付き平均で表されることを証明せよ。

ただし、$a>0$, $b>0$ に対して ${\int }_0^{\infty }{\lambda }^{a-1}{e}^{-b\lambda }d\lambda =\frac{\Gamma (a)}{b^a}$ であること、および $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$ は用いてよい。

ある窓口に 1 日に寄せられる問い合わせの件数は、$\lambda$ が与えられたとき平均 $\lambda$ のポアソン分布
$$P(X=k\mid \lambda )=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（$\lambda >0$ は未知の母数）。日ごとの件数は、$\lambda$ が与えられたもとで互いに独立とする。

$\lambda$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
のガンマ分布を用いる。ここで $\alpha >0,\beta >0$ は定数で、この事前分布の平均が $2$、分散が $2$ となるように定める。

ある 3 日間の件数を観測したところ、$2,0,1$ であった。この観測結果のもとで、4 日目の件数が $0$ となる事後予測確率
$$P(X_4=0\mid X_1=2,X_2=0,X_3=1)$$
を求めよ。ただし $X_1,X_2,X_3,X_4$ はそれぞれ 1〜4 日目の件数を表す。

ある工場で作られる部品が不良品である確率を $p$ $(0<p<1)$ とする。$p$ は未知で、事前分布として確率密度関数
$$\pi (p)=72p(1-p{)}^7(0<p<1)$$
のベータ分布 $\mathrm{Beta}(2,8)$ を用いる。$p$ が与えられたとき、各部品が不良品であるかどうかは互いに独立で、どの部品も確率 $p$ で不良品であるとする。

無作為に $30$ 個の部品を検査したところ、不良品は $4$ 個であった。この観測結果のもとで、次に検査する $2$ 個の部品がどちらも不良品でない確率（事後予測確率）
$$P(\text{次の 2 個がともに良品}\mid \text{データ})=E\left[(1-p{)}^2\mid \text{データ}\right]$$
を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の領域 $$T=\{(x,y,z)\mid x>0,y>0,z>0,x+y+z<1\}$$ 上の広義積分 $$I={\iiint }_T{x}^{-3/4}{y}^{-1/4}{z}^{-2/3}(1-x-y-z{)}^{-1/3}dxdydz$$ は収束する。$I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $\pi$ を用いて表せ。

$xy$ 平面上の三角形領域 $$D=\{(x,y)\mid x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\}$$ に対し、重積分 $$I={\iint }_D\sqrt{xy(1-x-y)}dxdy$$ の値を求めよ。答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、$\pi$ と有理数を用いて表せ。

1 回まわすと A, B, C のいずれか 1 つの目が出るルーレットがあり、A, B, C が出る確率をそれぞれ $p_1,p_2,p_3$（$p_1,p_2,p_3>0$, $p_1+p_2+p_3=1$）とする。$(p_1,p_2,p_3)$ の事前分布として、$(p_1,p_2)$ の同時確率密度関数が
$$\pi (p_1,p_2)=\frac{\Gamma (10)}{\Gamma (2)\Gamma (3)\Gamma (5)}{p}_1^1{p}_2^2{p}_3^4(p_3=1-p_1-p_2,p_1>0,p_2>0,p_1+p_2<1)$$
で与えられるディリクレ分布 $\mathrm{Dir}(2,3,5)$ を用いる。

$(p_1,p_2,p_3)$ が与えられたとき、ルーレットを互いに独立に 20 回まわしたところ、A が 6 回、B が 9 回、C が 5 回出た。このデータのもとで、さらに独立に 2 回まわしたとき「1 回目に A、2 回目に B が出る」確率（事後予測確率）は、事後分布に関する期待値 $E[p_1{p}_2\mid \text{data}]$ に等しい。この値を既約分数で求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^1\frac{x^4}{(1-x^3{)}^{2/3}}dx$$
は収束する。$I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $\pi$ を用いて表せ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$X=x$ $(x>0)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数は
$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-xy}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
であるとする。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$n$ を $3$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とし、定数 $c_n$（$\theta$ によらない）を $c_n\hat{\theta }$ が $\theta$ の不偏推定量となるように定める。このとき分散 $V(c_n\hat{\theta })$ を $n,\theta$ の式で表せ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta e^{-\theta x}(x>0)$$
の指数分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\theta$ によらない正の定数 $c$（$n$ には依存してよい）を用いた $\theta$ の推定量
$${\hat{\theta }}_c=\frac{c}{S}$$
を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(c)=E\left[({\hat{\theta }}_c-\theta {)}^2\right]$ を最小にする $c$ の値はすべての $\theta >0$ に対して共通である。この値を $c^{\ast }$ とするとき、組 $(c^{\ast },\mathrm{MSE}(c^{\ast }))$ を $n$ と $\theta$ を用いて表せ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\theta x^{\theta -1}(0<x<1)$$
（$0<x<1$ 以外では $f(x\mid \theta )=0$）に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。

$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、$\theta$ の推定量
$$T=\frac{n-1}{S}$$
を考える（$T$ は $\theta$ の不偏推定量である）。$\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L(\theta )$ とするとき、比 $\frac{L(\theta )}{V(T)}$ を $n$ の式で求めよ。