特殊関数・漸近解析の問題

被積分関数は $D$ 上で連続かつ非負なので、累次積分に直して計算してよい（フビニの定理）。

内側の積分（$y$ について）. $0\le x<1$ を固定し、$y=(1-x)t$（$0\le t\le 1$）と置換すると、$1-x-y=(1-x)(1-t)$、$dy=(1-x)dt$ であるから
$${\int }_0^{1-x}\sqrt{y(1-x-y)}dy=(1-x{)}^2{\int }_0^1{t}^{1/2}(1-t{)}^{1/2}dt=(1-x{)}^{2}B\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right).$$
ここで $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$、$\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$、$\Gamma (3)=2$ より
$$B\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)=\frac{(\sqrt{\pi }/2{)}^2}{2}=\frac{\pi }{8}.$$

外側の積分（$x$ について）.
$$I=\frac{\pi }{8}{\int }_0^1{x}^{1/2}(1-x{)}^{2}dx=\frac{\pi }{8}B\left(\frac{3}{2},3\right)=\frac{\pi }{8}\cdot \frac{\Gamma (3/2)\Gamma (3)}{\Gamma (9/2)}.$$
$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$ を繰り返し用いて
$$\Gamma \left(\frac{9}{2}\right)=\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi }=\frac{105}{16}\sqrt{\pi }.$$
よって
$$\frac{\Gamma (3/2)\Gamma (3)}{\Gamma (9/2)}=\frac{(\sqrt{\pi }/2)\cdot 2}{(105/16)\sqrt{\pi }}=\frac{16}{105},I=\frac{\pi }{8}\cdot \frac{16}{105}=\frac{2\pi }{105}.$$

（参考：ディリクレ積分の公式 ${\iint }_D{x}^{a-1}{y}^{b-1}(1-x-y{)}^{c-1}dxdy=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)}{\Gamma (a+b+c)}$ に $a=b=c=\frac{3}{2}$ を代入しても $\frac{(\sqrt{\pi }/2{)}^3}{(105/16)\sqrt{\pi }}=\frac{2\pi }{105}$ を得る。）

答え: $I=\frac{2\pi }{105}$

ディリクレ積分の公式より、${\iint }_D{x}^{a-1}{y}^{b-1}(1-x-y{)}^{c-1}dxdy=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)}{\Gamma (a+b+c)}$。ここで $a=b=c=3/2$ である。

$\Gamma (3/2)=\sqrt{\pi }/2$ なので、分子は $(\sqrt{\pi }/2{)}^3={\pi }^{3/2}/8$。

分母は $\Gamma (9/2)$。$\Gamma (9/2)=\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi }=\frac{105}{16}\sqrt{\pi }$。

よって $I=\frac{{\pi }^{3/2}/8}{105\sqrt{\pi }/16}=\frac{16\pi }{8\cdot 105}=\frac{2\pi }{105}$。

検算: 直接計算では、$y$ を固定して $x=(1-y)t$ とおくと、内側の積分は ${\int }_0^{1-y}\sqrt{x(1-y-x)}dx=(1-y{)}^2{\int }_0^1\sqrt{t(1-t)}dt=(1-y{)}^2\pi /8$。

よって $I=\frac{\pi }{8}{\int }_0^1\sqrt{y}(1-y{)}^{2}dy=\frac{\pi }{8}B(3/2,3)$。ここで $\sqrt{xy(1-x-y)}$ の $y$ 部分は $\sqrt{y}\sqrt{1-y}$ であり、$x$ の積分から $(1-y{)}^{1/2}\cdot (1-y)$ が出る。

正確には $\sqrt{x(1-y-x)}$ の積分は $(1-y)\cdot \pi /8$（$x=(1-y)t$ で $\sqrt{(1-y{)}^{2}t(1-t)}(1-y)dt=(1-y{)}^2\sqrt{t(1-t)}dt$）。これに $\sqrt{y}$ を掛けるので ${\int }_0^1\sqrt{y}(1-y{)}^{2}dy$ となり、$B(3/2,3)=\Gamma (3/2)\Gamma (3)/\Gamma (9/2)=(\sqrt{\pi }/2)(2)/((105/16)\sqrt{\pi })=16/105$。

したがって $I=\frac{\pi }{8}\cdot \frac{16}{105}=\frac{2\pi }{105}$。一致した。