特殊関数・漸近解析の問題

収束. 被積分関数は $[0,\infty )$ で連続かつ正で、$x\to \infty$ で $x^{-6}$ 程度に減少するので、$I$ は収束する。

変数変換. $t=x^4$ とおくと $x=t^{1/4}$、$dx=\frac{1}{4}{t}^{-3/4}dt$、$x^2=t^{1/2}$ なので
$$I=\frac{1}{4}{\int }_0^{\infty }\frac{t^{1/2}{t}^{-3/4}}{(1+t{)}^2}dt=\frac{1}{4}{\int }_0^{\infty }\frac{t^{-1/4}}{(1+t{)}^2}dt.$$

ベータ関数で表す. $p>0,q>0$ に対して
$$B(p,q)={\int }_0^{\infty }\frac{t^{p-1}}{(1+t{)}^{p+q}}dt$$
が成り立つ（$B(p,q)={\int }_0^1{u}^{p-1}(1-u{)}^{q-1}du$ で $u=\frac{t}{1+t}$ と置換すると得られる）。$p-1=-\frac{1}{4}$、$p+q=2$ より $p=\frac{3}{4}$、$q=\frac{5}{4}$ で、どちらも正なので
$$I=\frac{1}{4}B\left(\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)\Gamma \left(\frac{5}{4}\right)}{\Gamma (2)}.$$

ガンマ関数の計算. $\Gamma (2)=1$、$\Gamma \left(\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{4}\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)$ と、相補公式 $\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$ より
$$I=\frac{1}{16}\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{16}\cdot \frac{\pi }{\sin (\pi /4)}=\frac{1}{16}\cdot \sqrt{2}\pi =\frac{\sqrt{2}\pi }{16}.$$

（数値は約 $0.2777$。）

答えは $\frac{\sqrt{2}\pi }{16}$。

$t=x^4$ と置くと $x=t^{1/4}$, $dx=\frac{1}{4}{t}^{-3/4}dt$, $x^2=t^{1/2}$。\n$$I=\frac{1}{4}{\int }_0^{\infty }\frac{t^{1/2}{t}^{-3/4}}{(1+t{)}^2}dt=\frac{1}{4}{\int }_0^{\infty }\frac{t^{-1/4}}{(1+t{)}^2}dt.$$\n$B(p,q)={\int }_0^{\infty }\frac{t^{p-1}}{(1+t{)}^{p+q}}dt$ で $p-1=-\frac{1}{4}$ より $p=\frac{3}{4}$, $p+q=2$ より $q=\frac{5}{4}$。よって\n$$I=\frac{1}{4}B\left(\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{\Gamma (3/4)\Gamma (5/4)}{\Gamma (2)}=\frac{1}{4}\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{16}\cdot \frac{\pi }{\sin (\pi /4)}=\frac{\sqrt{2}\pi }{16}.$$\n検算: $\frac{\sqrt{2}\pi }{16}\approx 0.2777$。被積分関数は $x\approx 0.8$ 付近で最大 $\approx 0.3$ 程度、$x$ が 0 から約 1.5 まで有意な値をもつので、面積約 $0.28$ と整合する。