ベータ関数に帰着する広義積分

$t = x^{n}$ や $t = \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}$ と置換して、 $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{p - 1}}{( 1 + x ^{n} ) ^{q}} d x = \frac{1}{n} B (\frac{p}{n}, q - \frac{p}{n})$ のようにベータ関数で表し、ガンマ関数の値を使って $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{4} ) ^{2}} d x$ のような積分の値を求められる

前提

ガンマ関数の相反公式と倍数公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）

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算数中学高校大学大学院

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ガンマ関数の相反公式と倍数公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）

説明

$\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{p - 1}}{( 1 + x ^{n} ) ^{q}} d x$ や $\int_{0}^{1} x^{p - 1} (1 - x^{n})^{q - 1} d x$ のような、べき関数と「 $1 \pm x^{n}$ のべき」の積の広義積分は、うまく置換するとベータ関数 $B (a, b)$ そのものになります。そこからガンマ関数で $B (a, b) = \frac{Γ ( a ) Γ ( b )}{Γ ( a + b )}$ と表し、相反公式や倍数公式で値を計算すれば、部分分数分解や留数計算をしなくても積分の値が求まります。特に $n$ や $q$ が大きく、留数計算が面倒になる積分で威力を発揮します。

なぜそうしてよいのか

ベータ関数には 2 つの表示があります。 $a > 0, b > 0$ に対して $B (a, b) = \int_{0}^{1} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t = \int_{0}^{\infty} \frac{u ^{a - 1}}{( 1 + u ) ^{a + b}} d u .$ 2 つ目は 1 つ目で $t = \frac{u}{1 + u}$ （ $u = \frac{t}{1 - t}$ ）と置換すると得られます。実際 $1 - t = \frac{1}{1 + u}$ 、 $d t = \frac{d u}{( 1 + u ) ^{2}}$ なので $t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t = \frac{u ^{a - 1}}{( 1 + u ) ^{a - 1}} \cdot \frac{1}{( 1 + u ) ^{b - 1}} \cdot \frac{d u}{( 1 + u ) ^{2}} = \frac{u ^{a - 1}}{( 1 + u ) ^{a + b}} d u$ です。そして $B (a, b) = \frac{Γ ( a ) Γ ( b )}{Γ ( a + b )}$ が成り立ちます。

目標の積分 $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{p - 1}}{( 1 + x ^{n} ) ^{q}} d x$ （ $n > 0$ ）では、分母の $x^{n}$ を 1 つの文字にしたいので $u = x^{n}$ とおきます。 $x = u^{1/ n}$ 、 $d x = \frac{1}{n} u^{\frac{1}{n} - 1} d u$ で、 $x : 0 \to \infty$ は $u : 0 \to \infty$ に対応します。すると $x^{p - 1} d x = \frac{1}{n} u^{\frac{p - 1}{n} + \frac{1}{n} - 1} d u = \frac{1}{n} u^{\frac{p}{n} - 1} d u$ となり $I = \frac{1}{n} \int_{0}^{\infty} \frac{u ^{\frac{p}{n} - 1}}{( 1 + u ) ^{q}} d u .$ これはベータ関数の 2 つ目の表示で $a = \frac{p}{n}$ 、 $a + b = q$ としたものなので、 $b = q - \frac{p}{n}$ で $I = \frac{1}{n} B (\frac{p}{n}, q - \frac{p}{n})$ です。ベータ関数が定義される条件 $a > 0, b > 0$ は $0 < p < n q$ で、これはちょうど元の積分が $x \to 0$ （被積分関数 $\sim x^{p - 1}$ ）と $x \to \infty$ （ $\sim x^{p - 1 - n q}$ ）の両方で収束する条件と一致します。

同じ考え方で、区間 $[0, 1]$ の積分 $\int_{0}^{1} x^{p - 1} (1 - x^{n})^{q - 1} d x$ は $t = x^{n}$ で $\frac{1}{n} B (\frac{p}{n}, q)$ になります（ $p > 0, q > 0$ ）。なお $\int_{0}^{\infty}$ 型で先に $t = \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}$ と置換すると、一気に 1 つ目の表示 $\frac{1}{n} \int_{0}^{1} t^{\frac{p}{n} - 1} (1 - t)^{q - \frac{p}{n} - 1} d t$ に到達します。どちらの置換でも結果は同じです。

手順

被積分関数を $\frac{x ^{p - 1}}{( 1 + x ^{n} ) ^{q}}$ （または $x^{p - 1} (1 - x^{n})^{q - 1}$ ）の形に読み、 $p, n, q$ を特定する
収束条件を確認する: $\int_{0}^{\infty}$ 型なら $0 < p < n q$ 、 $\int_{0}^{1}$ 型なら $p > 0, q > 0$
$u = x^{n}$ （または $t = \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n}}$ ）と置換し、 $d x = \frac{1}{n} u^{\frac{1}{n} - 1} d u$ を使ってベータ関数の形にする: $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{p - 1}}{( 1 + x ^{n} ) ^{q}} d x = \frac{1}{n} B (\frac{p}{n}, q - \frac{p}{n})$
$B (a, b) = \frac{Γ ( a ) Γ ( b )}{Γ ( a + b )}$ でガンマ関数に直す
$Γ (s + 1) = s Γ (s)$ 、相反公式 $Γ (s) Γ (1 - s) = \frac{π}{s i n π s}$ 、倍数公式を使って値を計算する

例題

広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $\frac{1}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}} = \frac{x ^{1 - 1}}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}}$ なので $p = 1, n = 3, q = 2$ 。

【手順 2】 $0 < p = 1 < n q = 6$ なので収束する。

【手順 3】 $u = x^{3}$ とおくと $x = u^{1/3}$ 、 $d x = \frac{1}{3} u^{- 2/3} d u$ で $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}} = \frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} \frac{u ^{\frac{1}{3} - 1}}{( 1 + u ) ^{2}} d u = \frac{1}{3} B (\frac{1}{3}, 2 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} B (\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) .$

【手順 4】 $B (\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) = \frac{Γ ( \frac{1}{3} ) Γ ( \frac{5}{3} )}{Γ ( 2 )}$ 、 $Γ (2) = 1$ 。

【手順 5】 $Γ (\frac{5}{3}) = \frac{2}{3} Γ (\frac{2}{3})$ 、相反公式より $Γ (\frac{1}{3}) Γ (\frac{2}{3}) = \frac{π}{sin ( π /3 )} = \frac{2 π}{3}$ 。よって $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{9 3} = \frac{4 3 π}{27} .$

答え: $\frac{4 3 π}{27}$

よくある誤り

ベータ関数の 2 番目の引数を $q$ や $q - p$ にしてしまう誤り。正しくは $\int_{0}^{\infty} \frac{u ^{a - 1}}{( 1 + u ) ^{a + b}} d u$ で $a + b = q$ なので $b = q - \frac{p}{n}$ 。たとえば $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{4} ) ^{2}} d x = \frac{1}{4} B (\frac{3}{4}, \frac{5}{4})$ であって $\frac{1}{4} B (\frac{3}{4}, 2)$ ではない
置換 $u = x^{n}$ で出る係数 $\frac{1}{n}$ を落とす、または $x^{p - 1}$ の指数を $\frac{p - 1}{n}$ のままにしてしまう誤り。正しくは $x^{p - 1} d x = u^{\frac{p - 1}{n}} \cdot \frac{1}{n} u^{\frac{1}{n} - 1} d u = \frac{1}{n} u^{\frac{p}{n} - 1} d u$ で、ベータ関数の第 1 引数は $\frac{p}{n}$ （ $\frac{p - 1}{n} + 1$ ではなく $\frac{p}{n}$ ）
収束条件を確かめずに公式を当てはめる誤り。たとえば $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{1 + x ^{4}} d x$ は $p = 4, n = 4, q = 1$ で $p < n q$ をみたさず、 $\frac{1}{4} B (1, 0)$ は定義されない（積分は発散する）。正しくは $0 < p < n q$ のときだけ $\frac{1}{n} B (\frac{p}{n}, q - \frac{p}{n})$ と書ける
ガンマ関数の値の計算で $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ を取り違える誤り。たとえば $Γ (\frac{5}{3}) = \frac{5}{3} Γ (\frac{2}{3})$ としてしまう。正しくは $Γ (\frac{5}{3}) = Γ (\frac{2}{3} + 1) = \frac{2}{3} Γ (\frac{2}{3})$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
広義積分
$I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{( 1 + x ^{3} ) ^{2}} d x$
は収束する。 $I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $π$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

パラメータ微分による対数を含む積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）