パラメータ微分による対数を含む積分

$F (s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{s - 1}}{1 + x ^{n}} d x = \frac{π}{n s i n ( π s / n )}$ のようなベータ型の積分を $s$ で微分して、 $\int_{0}^{\infty} \frac{( l o g x ) ^{k} x ^{s - 1}}{1 + x ^{n}} d x = F^{(k)} (s)$ から $lo g x$ のべきを含む広義積分の値を求められる

前提

ベータ関数に帰着する広義積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）
積分記号下の微分（大学院数学測度論・実解析）

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算数中学高校大学大学院

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積分記号下の微分（大学院数学測度論・実解析）

説明

$\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{m} ( l o g x ) ^{k}}{1 + x ^{n}} d x$ のように、ベータ関数で計算できる積分に $lo g x$ のべきが掛かった広義積分の値を求める方法です。 $x^{s - 1} = e^{(s - 1) l o g x}$ を $s$ で微分すると $lo g x$ が 1 つずつ出てくることを使い、値がわかっている積分 $F (s)$ を $k$ 回微分して、目的の積分を $F^{(k)} (s)$ として得ます。対数を含む積分を直接の原始関数なしに計算したいときに使います。

なぜそうしてよいのか

まず土台となる積分を求めます。 $0 < s < n$ のとき $t = x^{n}$ と置換すると $x = t^{1/ n}$ 、 $d x = \frac{1}{n} t^{1/ n - 1} d t$ なので
$F (s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{s - 1}}{1 + x ^{n}} d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{\infty} \frac{t ^{s / n - 1}}{1 + t} d t = \frac{1}{n} B (\frac{s}{n}, 1 - \frac{s}{n}) = \frac{1}{n} Γ (\frac{s}{n}) Γ (1 - \frac{s}{n}) = \frac{π}{n sin ( π s / n )}$
となります（最後は相反公式）。 $s \leq 0$ では $x = 0$ の近くで、 $s \geq n$ では $x \to \infty$ で積分が発散するので、 $0 < s < n$ という条件は欠かせません。

次に、 $\frac{\partial}{\partial s} x^{s - 1} = \frac{\partial}{\partial s} e^{(s - 1) l o g x} = (lo g x) x^{s - 1}$ なので、積分記号下で $k$ 回微分できれば
$F^{(k)} (s) = \int_{0}^{\infty} \frac{( lo g x ) ^{k} x ^{s - 1}}{1 + x ^{n}} d x$
です。これを正当化するには優関数を作ります。 $0 < a < b < n$ を固定し $s \in [a, b]$ とすると、 $0 < x \leq 1$ では $x^{s - 1} \leq x^{a - 1}$ 、 $x \geq 1$ では $x^{s - 1} \leq x^{b - 1}$ なので
$\frac{( lo g x ) ^{k} x ^{s - 1}}{1 + x ^{n}} \leq g (x) = \frac{∣ lo g x ∣ ^{k} ( x ^{a - 1} + x ^{b - 1} )}{1 + x ^{n}}$
となります。 $g$ は $x \to + 0$ で $∣ lo g x ∣^{k} x^{a - 1}$ 程度（ $a > 0$ なので可積分）、 $x \to \infty$ で $∣ lo g x ∣^{k} x^{b - 1 - n}$ 程度（ $b - 1 - n < - 1$ なので可積分）であり、 $s$ によらない可積分な関数です。よって $(a, b)$ の各点で積分記号下の微分が許され、 $a, b$ は任意なので $0 < s < n$ 全体で成り立ちます。

こうして、 $lo g x$ を含む積分は「右辺の $\frac{π}{n s i n ( π s / n )}$ を $s$ で微分して、適切な $s$ を代入する」という、ただの微分計算になります。たとえば $\int_{0}^{\infty} \frac{( l o g x ) ^{2}}{1 + x ^{2}} d x = F^{''} (1)$ （ $n = 2$ ）は、 $\frac{d ^{2}}{d s ^{2}} \frac{π}{2 s i n ( π s /2 )}$ に $s = 1$ を代入して $\frac{π ^{3}}{8}$ と求まります。

手順

目的の積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{m} ( l o g x ) ^{k}}{1 + x ^{n}} d x$ を見て、 $x^{s - 1} = x^{m}$ となる $s = m + 1$ と $n$ を決め、 $0 < s < n$ を確認する。
土台の積分を書く: $F (s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{s - 1}}{1 + x ^{n}} d x = \frac{π}{n s i n ( π s / n )} (0 < s < n)$ 。
優関数 $\frac{∣ l o g x ∣ ^{k} ( x ^{a - 1} + x ^{b - 1} )}{1 + x ^{n}}$ （ $0 < a < s < b < n$ ）で積分記号下の微分を正当化し、 $\int_{0}^{\infty} \frac{( l o g x ) ^{k} x ^{s - 1}}{1 + x ^{n}} d x = F^{(k)} (s)$ とする。
$F (s) = \frac{π}{n} \cdot \frac{1}{s i n u}$ （ $u = \frac{π s}{n}$ ）を $s$ で $k$ 回微分する。合成関数の微分で 1 回ごとに $\frac{d u}{d s} = \frac{π}{n}$ が掛かることに注意する。
手順 1 で決めた $s$ を代入して値を求める。

例題

広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{lo g x}{1 + x ^{3}} d x$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】分子は $x^{0} lo g x$ なので $s - 1 = 0$ より $s = 1$ 、分母から $n = 3$ 。 $0 < 1 < 3$ を満たす。

【手順 2】 $F (s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{s - 1}}{1 + x ^{3}} d x = \frac{π}{3 sin ( π s /3 )} (0 < s < 3)$ 。

【手順 3】 $0 < a < 1 < b < 3$ をとると、 $s \in [a, b]$ で $\frac{( l o g x ) x ^{s - 1}}{1 + x ^{3}} \leq \frac{∣ l o g x ∣ ( x ^{a - 1} + x ^{b - 1} )}{1 + x ^{3}}$ であり、右辺は $(0, \infty)$ で可積分。よって $\int_{0}^{\infty} \frac{lo g x}{1 + x ^{3}} d x = F^{'} (1)$ 。

【手順 4】 $u = \frac{π s}{3}$ とすると
$F^{'} (s) = \frac{π}{3} \cdot (- \frac{cos u}{sin ^{2} u}) \cdot \frac{π}{3} = - \frac{π ^{2}}{9} \cdot \frac{cos ( π s /3 )}{sin ^{2} ( π s /3 )} .$

【手順 5】 $s = 1$ で $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ 、 $sin^{2} \frac{π}{3} = \frac{3}{4}$ なので
$F^{'} (1) = - \frac{π ^{2}}{9} \cdot \frac{1/2}{3/4} = - \frac{π ^{2}}{9} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{2 π ^{2}}{27} .$
（ $0 < x < 1$ で $lo g x < 0$ の部分の寄与のほうが大きいので、負の値になるのは自然である。）

答え: $- \frac{2 π ^{2}}{27}$

よくある誤り

合成関数の微分の因子 $\frac{π}{n}$ を落としてしまう誤り。 $\frac{d}{d s} \frac{π}{3 s i n ( π s /3 )} = - \frac{π}{3} \frac{c o s ( π s /3 )}{s i n ^{2} ( π s /3 )}$ とするのは誤りで、正しくは $- \frac{π ^{2}}{9} \frac{c o s ( π s /3 )}{s i n ^{2} ( π s /3 )}$ 。 $k$ 回微分すれば $(\frac{π}{n})^{k}$ が掛かる。
代入する $s$ を取り違える誤り。 $\int_{0}^{\infty} \frac{x l o g x}{1 + x ^{4}} d x$ で $s = 1$ を代入してしまう。正しくは $x^{s - 1} = x^{1}$ より $s = 2$ で、値は $F^{'} (2)$ （ $n = 4$ ）である。
収束の条件 $0 < s < n$ を確かめずに公式を使う誤り。たとえば $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2} l o g x}{1 + x ^{3}} d x$ に $s = 3, n = 3$ を代入してしまう。 $sin π = 0$ で式は意味をもたず、実際この積分は $x \to \infty$ で被積分関数が $\frac{l o g x}{x}$ 程度になり発散する。
$\frac{1}{s i n u}$ の微分の符号を誤る誤り。 $(\frac{1}{s i n u})^{'} = \frac{c o s u}{s i n ^{2} u}$ としてしまう。正しくは $(\frac{1}{s i n u})^{'} = - \frac{c o s u}{s i n ^{2} u}$ で、2 階微分は $\frac{c o s ^{2} u + 1}{s i n ^{3} u}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$0 < s < 4$ を満たす実数 $s$ に対して
$\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{s - 1}}{1 + x ^{4}} d x = \frac{π}{4 sin \frac{π s}{4}}$
が成り立つ。これを用いて、広義積分
$I = \int_{0}^{\infty} \frac{lo g x}{1 + x ^{4}} d x$
の値を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

パラメータ微分による対数を含む積分

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題