積分記号下の微分

$∣ \partial_{t} f (x, t) ∣ \leq g (x)$ （ $g$ は可積分）となる優関数を見つけて $\frac{d}{d t} \int f (x, t) d x = \int \partial_{t} f (x, t) d x$ を正当化し、 $F (t) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} \frac{s i n t x}{x} d x$ のようなパラメータを含む積分を微分方程式に直して値を求められる

前提

単調収束定理・優収束定理（大学院数学測度論・実解析）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
平均値の定理（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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広義積分（大学数学微分積分）
ルベーグ積分の計算（大学院数学測度論・実解析）
単調収束定理・優収束定理（大学院数学測度論・実解析）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）

説明

パラメータ $t$ を含む積分 $F (t) = \int_{X} f (x, t) d x$ を、積分の中で $t$ について偏微分することで微分する技能です。直接は計算しにくい積分でも、 $t$ で微分すると簡単に積分できる形になることがよくあり、そのとき $F^{'} (t)$ を求めてから $F$ のわかっている値（ $t = 0$ や $t = 1$ など）を使って積分し直せば $F (t)$ の値が求まります。交換を正当化する鍵は、 $t$ によらない可積分な優関数 $g (x)$ で $∣ \partial_{t} f (x, t) ∣ \leq g (x)$ となるものを見つけることです。

なぜそうしてよいのか

$F^{'} (t)$ は差分商の極限 $lim_{h \to 0} \frac{F ( t + h ) - F ( t )}{h} = lim_{h \to 0} \int_{X} \frac{f ( x , t + h ) - f ( x , t )}{h} d x$ です。各 $x$ ごとには被積分関数は $\partial_{t} f (x, t)$ に収束するので、問題は「極限と積分を交換してよいか」であり、これは優収束定理で判定できます。 $h \to 0$ の極限は、 $0$ に収束する任意の数列 $h_{k} (h_{k} \neq = 0)$ に沿った極限で確かめれば十分です。

優関数を作るのに平均値の定理を使います。 $t$ がある区間 $I$ を動くとき、各 $x$ を固定して $s \mapsto f (x, s)$ に平均値の定理を使うと、 $t, t + h \in I$ のとき
$\frac{f ( x , t + h ) - f ( x , t )}{h} = \partial_{t} f (x, t + θ h) (0 < θ < 1)$
となる $θ$ （ $x, h$ に依存してよい）があります。したがって $I$ 上のすべての $s$ で $∣ \partial_{t} f (x, s) ∣ \leq g (x)$ 、 $\int_{X} g < \infty$ が成り立てば、差分商はすべて $g (x)$ で押さえられ、優収束定理より
$F^{'} (t) = \int_{X} \partial_{t} f (x, t) d x (t \in I の内部)$
が得られます。前提として、各 $x$ で $s \mapsto f (x, s)$ が $I$ 上微分可能であること、ある $t_{0} \in I$ で $f (\cdot, t_{0})$ が可積分であること（このとき $∣ f (x, t) ∣ \leq ∣ f (x, t_{0}) ∣ + ∣ t - t_{0} ∣ g (x)$ から全ての $t \in I$ で $F (t)$ が有限）が必要です。

優関数は $t$ によってはいけないので、 $t$ の範囲全体で一様に押さえにくいときは、 $t$ を $[a, b]$ のような小さめの区間に制限して優関数を作ります。微分可能性は局所的な性質なので、各 $t$ をその内部に含む区間がとれれば、それで $t$ の範囲全体で微分できたことになります。

手順

$F (t) = \int_{X} f (x, t) d x$ が考える $t$ の範囲で有限であることを確かめる
各 $x$ について $t$ で偏微分して $\partial_{t} f (x, t)$ を求める
$t$ を区間 $[a, b]$ （考えたい $t$ を内部に含むもの）に制限し、 $t$ によらない可積分な $g (x)$ で $∣ \partial_{t} f (x, t) ∣ \leq g (x)$ （ $t \in [a, b]$ ）となるものを見つける
平均値の定理と優収束定理により $F^{'} (t) = \int_{X} \partial_{t} f (x, t) d x$ とし、右辺を計算する
得られた $F^{'} (t)$ を $t$ について積分し、 $F$ の値がわかる点（ $F (0)$ 、 $F (1)$ など）で積分定数を決める

例題

$t > 0$ に対して $F (t) = \int_{0}^{\infty} \frac{e ^{- x} - e ^{- t x}}{x} d x$ とする。 $F (3)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（有限性） $t > 0$ を固定する。 $0 < x \leq 1$ では平均値の定理より $e^{- x} - e^{- t x} = (t - 1) x e^{- c x}$ （ $c$ は $1$ と $t$ の間）なので $\frac{e ^{- x} - e ^{- t x}}{x} \leq ∣ t - 1∣$ 。 $x \geq 1$ では $\frac{e ^{- x} - e ^{- t x}}{x} \leq e^{- x} + e^{- t x}$ 。どちらも可積分なので $F (t)$ は有限。

手順 2（偏微分） $f (x, t) = \frac{e ^{- x} - e ^{- t x}}{x}$ とおくと $\partial_{t} f (x, t) = \frac{x e ^{- t x}}{x} = e^{- t x}$ 。

手順 3（優関数） $0 < a < b$ を任意にとり $t \in [a, b]$ とすると $∣ \partial_{t} f (x, t) ∣ = e^{- t x} \leq e^{- a x} =: g (x)$ 。 $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} d x = \frac{1}{a} < \infty$ で、 $g$ は $t$ によらない。

手順 4（積分記号下の微分） 優収束定理より $a < t < b$ で
$F^{'} (t) = \int_{0}^{\infty} e^{- t x} d x = \frac{1}{t} .$
$a, b$ は任意なので、すべての $t > 0$ で $F^{'} (t) = \frac{1}{t}$ 。

手順 5（積分定数） $F (t) = lo g t + C$ 。 $t = 1$ では被積分関数が $0$ なので $F (1) = 0$ 、よって $C = 0$ で $F (t) = lo g t$ 。したがって $F (3) = lo g 3$ 。

答え: $lo g 3$

よくある誤り

優関数が $t$ に依存してしまう誤り。上の例で $∣ \partial_{t} f ∣ = e^{- t x} \leq e^{- t x}$ をそのまま優関数とするのは不可で、 $t > 0$ 全体で一様に押さえようとして $sup_{t > 0} e^{- t x} = 1$ とすると $[0, \infty)$ で可積分でない。正しくは $t \in [a, b]$ （ $a > 0$ ）に制限して $e^{- t x} \leq e^{- a x}$ のように $t$ によらない可積分関数で押さえる
被積分関数 $f$ そのものを押さえただけで交換してしまう誤り。 $∣ f (x, t) ∣ \leq g (x)$ は $F$ の有限性・連続性の根拠にはなるが、微分の交換に必要なのは $∣ \partial_{t} f (x, t) ∣ \leq g (x)$ （ $t$ の区間上で一様）である
積分定数を決め忘れる、または $F$ の値がわからない点で決めようとする誤り。 $F^{'} (t) = \frac{1}{t}$ から $F (t) = lo g t$ と即断せず、 $F (t) = lo g t + C$ として $F (1) = 0$ のような実際に計算できる値で $C$ を決める
端点で交換が成り立つと思い込む誤り。たとえば $t = 0$ では $\int_{0}^{\infty} \partial_{t} f (x, 0) d x = \int_{0}^{\infty} 1 d x = \infty$ で、そもそも $F (0)$ も発散する。正しくは優関数がとれる区間の内部の $t$ についてだけ $F^{'} (t) = \int \partial_{t} f d x$ を使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $(0, 1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$I = \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} - 1}{lo g x} d x$
の値を求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

パラメータ微分による対数を含む積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）