平均値の定理

平均値の定理を使って、差の評価や不等式・極限の問題を解ける

前提

増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）

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算数中学高校大学大学院

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関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）

説明

平均値の定理は、区間の両端での関数の値の差 $f (b) - f (a)$ を、区間の内側のある点での微分係数 $f^{'} (c)$ と区間の幅 $b - a$ で $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ と書き表す定理です。 $c$ の具体的な値はわからなくても、 $a < c < b$ という範囲はわかります。そのため $f^{'} (c)$ の大きさを調べれば、差 $f (b) - f (a)$ の大きさを見積もれます。不等式の証明や、差の形をした極限の計算でよく使います。

なぜそうしてよいのか

関数 $f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能だとします。グラフの両端 $A (a, f (a))$ と $B (b, f (b))$ を結ぶ直線の傾きは $m = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ です。グラフと直線 $A B$ の『縦のずれ』を $g (x) = f (x) - {f (a) + m (x - a)}$ とおきます。すると $g (a) = 0$ 、 $g (b) = f (b) - f (a) - m (b - a) = 0$ となり、両端でずれは $0$ です。

$g$ が定数なら、どの点でも $g^{'} (x) = 0$ です。定数でなければ、 $g$ は $[a, b]$ のどこかで $0$ より大きい値か小さい値をとります。連続な関数は閉区間で最大値と最小値をもつので、 $0$ でない最大値または最小値を区間の内側のある点 $c$ でとります。 $c$ で最大になる場合、 $h > 0$ なら $\frac{g ( c + h ) - g ( c )}{h} \leq 0$ 、 $h < 0$ なら $\frac{g ( c + h ) - g ( c )}{h} \geq 0$ です。 $h \to 0$ の極限はどちらも $g^{'} (c)$ なので、 $g^{'} (c) = 0$ になります（最小の場合も同じです）。

$g^{'} (x) = f^{'} (x) - m$ なので、 $g^{'} (c) = 0$ は $f^{'} (c) = m$ を意味します。つまり、接線の傾きが直線 $A B$ の傾きと等しくなる点 $c$ $(a < c < b)$ が必ず存在します。グラフで言えば、曲線を両端の弦と平行な直線で動かしていくと、どこかで曲線に接する、ということです。

手順

条件を確かめる： $f (x)$ が $[a, b]$ で連続で、 $(a, b)$ で微分可能かを調べる（多項式ならどちらも成り立つ）
両端を結ぶ直線の傾きを計算する： $m = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
定理を式で書く： $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ 、 $a < c < b$ を満たす $c$ が存在する
目的に合わせて使う： $c$ を求めるときは $f^{'} (c) = m$ を解いて $a < c < b$ を満たすものだけを残す。不等式や評価に使うときは、 $a < c < b$ から $f^{'} (c)$ のとりうる範囲を調べて差を挟む

例題

関数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ と区間 $[- 1, 2]$ について、平均値の定理 $\frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{2 - ( - 1 )} = f^{'} (c)$ を満たす $c$ で、 $- 1 < c < 2$ であるものを求めよ。

例題の解答

手順1： $f (x)$ は多項式なので、 $[- 1, 2]$ で連続で、 $(- 1, 2)$ で微分可能です。
手順2： $f (2) = 8 - 4 = 4$ 、 $f (- 1) = - 1 + 2 = 1$ なので、両端を結ぶ直線の傾きは $m = \frac{4 - 1}{2 - ( - 1 )} = 1$ です。
手順3： $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ なので、 $f^{'} (c) = m$ は $3 c^{2} - 2 = 1$ となります。
手順4： $c^{2} = 1$ を解くと $c = \pm 1$ です。 $c = - 1$ は区間の端なので条件 $- 1 < c < 2$ を満たさず、除きます。 $c = 1$ は $- 1 < 1 < 2$ を満たします。よって $c = 1$ です。

答え: $1$

よくある誤り

$f^{'} (c) = m$ の解をすべて答えにしてしまう誤り。正しくは $a < c < b$ （端を含まない）を満たすものだけを残す。上の例では $c = - 1$ は除いて $c = 1$ だけが答え。
$c$ はいつも区間の中点だと思い込む誤り。 $f (x) = x^{2}$ なら $c = \frac{a + b}{2}$ になるが、 $f (x) = x^{3}$ を $[0, 3]$ で考えると $3 c^{2} = \frac{27 - 0}{3} = 9$ から $c = 3$ となり、中点 $\frac{3}{2}$ ではない。
微分可能でない点を含む区間で使ってしまう誤り。 $f (x) = ∣ x ∣$ を $[- 1, 1]$ で考えると、傾きは $\frac{1 - 1}{2} = 0$ だが、 $f^{'} (x) = 0$ となる点は存在しない（ $x = 0$ で微分できない）。正しくは、 $(a, b)$ で微分可能であることを先に確かめる。
不等式に使うとき、 $c$ を特定の値に決めつけてしまう誤り。わかるのは $a < c < b$ という範囲だけである。正しくは、その範囲での $f^{'} (c)$ の最小値や最大値（あるいはその範囲の端の値）を使って、 $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ を不等式で挟む。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

テイラー展開（大学数学微分積分）
積分記号下の微分（大学院数学測度論・実解析）
不動点反復と線形収束（大学数学数値解析）